Lebesguen mitta

Lebesguen mitta on reaalilukujen joukon mitta, jota kutsutaan havainnollisuutensa vuoksi myös luonnolliseksi mitaksi. Sen integraali eli Lebesguen integraali on Riemannin integraalin laajennus.

Lebesguen mitalla on useita luonnolliselta tuntuvia ominaisuuksia. Se yhtenee geometrian pituus-, pinta-ala- ja tilavuuskäsitteiden kanssa sikäli, että esimerkiksi reaalilukuvälin $[a,b]$ Lebesguen mitta on $b-a$, -neliön $[a,b] \times [a,b]$ mitta on $(b-a)^2$ ja -kuution $[a,b] \times [a,b] \times [a,b]$ mitta on $(b-a)^3$. Se on siirto- ja kiertoinvariantti, minkä voi tulkita graafisesti niin, ettei joukon asennolla tai sijainnilla ole vaikutusta sen mittaan.

Lebesguen mitta on määritelty kaikille helposti kuviteltaville joukoille. Valinta-aksiooman avulla voidaan kuitenkin todistaa, että on olemassa sellaisiakin $\mathbb{R}$:n osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia. Kaikki sellaiset ovat kuitenkin luonteeltaan hyvin monimutkaisia ja abstrakteja.

Lebesguen mitan määrittely

Lebesguen mitta määritellään Lebesguen ulkomitan kautta, joka on mitta, joka on määritelty mielivaltaisille $n$-ulotteisille reaalilukujen joukoille. Alustavasti on kuitenkin tehtävä joitakin määritelmiä.

Yksiulotteinen avoin väli on perinteiseen tapaan väli

$(a,b) = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, a<x<b \}$.

$n$-ulotteinen avoin väli on yksiulotteisten avoimien välien karteesinen tulo

$(a_1,b_1) \times (a_2,b_2) \times \ldots \times (a_n,b_n)$.

Kiinnitetään geometriselle mitalle symboli $l$. Jos $I$ on $n$-ulotteinen väli, niin sen geometrinen mitta on

$l(I) = \prod_{i=1}^n (a_i-b_i) = (a_1-b_1) \cdot (a_2-b_2) \cdot \ldots \cdot (a_n-b_n)$.

Lebesguen ulkomitta

Jos $n$ on luonnollinen luku, joukko $A \subset \mathbb{R}^n$, niin joukon $A$ Lebesguen ulkomitta on

$m_n^* (A) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} l(I_k) \, \left| \, A \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k , \ I_k \ \textrm{on} \ n\textrm{-ulotteinen} \ \mbox{vali} \ \textrm{kaikilla} \ k \in \mathbb{N} \right. \right\}$.

$m_n^*$ on kuvaus $\mathcal{P}(\mathbb{R}^n) \rightarrow [0,\infty]$.

Yleensä samaistetaan symbolit $m_n^*$ ja $m^*$, jos dimensio on yhteydestä selvä.

Lebesgue-mitalliset joukot

Joukko $E \subset \mathbb{R}^n$ on Lebesgue-mitallinen, jos

$m^*_n (A) = m^*_n (A \cap E) + m^*_n (A \cap E^c)$ kaikilla joukoilla $A \subset \mathbb{R}^n$.

Tämä on niin kutsuttu Carathéodoryn ehto.

$n$-ulotteisten Lebesgue-mitallisten joukkojen joukkoa merkitään symbolilla $Leb(\mathbb{R}^n)$. Voidaan sanoa, että kaikki helposti kuviteltavat joukot ovat Lebesgue-mitallisia. $Leb(\mathbb{R}^n)$ on sigma-algebra.

Lebesgue-mitallisia joukkoja:

• $n$-ulotteiset avoimet välit ovat Lebesgue-mitallisia joukkoja
• jos pätee $m^* (E) = 0$, niin $E$ on Lebesgue-mitallinen
• numeroituvat joukot ovat Lebesgue-mitallisia
• avoimet ja suljetut joukot ovat Lebesgue-mitallisia
• Lebesgue-mitallisen joukon komplementti on Lebesgue-mitallinen
• Lebesgue-mitallisten joukkojen numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset ovat Lebesgue-mitallisia
• Borel-joukot ovat Lebesgue-mitallisia

Kaikki Lebesgue-mitalliset joukot eivät kuitenkaan ole Borel-joukkoja.

Lebesguen mitta

Jos joukko $E \subset \mathbb{R}^n$ on Lebesgue-mitallinen, niin sen Lebesguen mitta on $m_n (E)=m_n^* (E)$. $m_n$ on siis kuvaus $Leb(\mathbb{R}^n) \rightarrow [0,\infty]$.

Jos dimensio on yhteydestä selvä, merkitään $m (E)=m^* (E)$.

Lebesgue-mitalliset funktiot

Jos $A \subset \mathbb{R}^n$, niin funktio $f: A \rightarrow \mathbb{R}^m$ on Lebesgue-mitallinen, jos $f^{-1} (G)$ on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla $G \subset \mathbb{R}^m$.

Jos $A \subset \mathbb{R}$, niin funktio $f: A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ +\infty , -\infty \}$ on Lebesgue-mitallinen, jos $f^{-1} (G)$ on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla $G \subset \mathbb{R}$ sekä $f^{-1}(+\infty)$ ja $f^{-1}(-\infty)$ ovat Lebesgue-mitallisia joukkoja.

Lebesgue-mitallisia funktioita:

• jos $E$ on Lebesgue-mitallinen joukko, niin indikaattorifunktio $1_E$ on Lebesgue-mitallinen funktio
• jos $A \subset \mathbb{R}^n$ on mitallinen, niin jatkuvat funktiot $A \rightarrow \mathbb{R}^m$ ovat Lebesgue-mitallisia
• jos $A \subset \mathbb{R}^n$, $f$ on Lebesgue-mitallinen funktio $A \rightarrow \mathbb{R}^m$, $B \subset \mathbb{R}^m$, $f(A) \subset B$ ja $g$ on jatkuva funktio $B \rightarrow \mathbb{R}^p$, niin yhdistetty kuvaus $g \circ f$ on Lebesgue-mitallinen
• Lebesgue-mitallisten funktioiden välinen summa ja tulo muodostavat Lebesgue-mitallisen funktion
• jos $f$ on Lebesgue-mitallinen funktio ja $p>0$, niin $|f|^p$ on Lebesgue-mitallinen funktio
• jos $A \subset \mathbb{R}^n$ ja $(f_1, f_2, \ldots)$ on jono Lebesgue-mitallisia funktioita $A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ +\infty , -\infty \}$, niin funktiot $\sup_{i \rightarrow \infty} f_i$, $\inf_{i \rightarrow \infty} f_i$, $\limsup_{i \rightarrow \infty} f_i$ ja $\liminf_{i \rightarrow \infty} f_i$ ovat Lebesgue-mitallisia. Jos lisäksi $\lim_{i \rightarrow \infty} f_i$ on olemassa, on se Lebesgue-mitallinen

Lebesguen mitan ominaisuuksia

Jos $E$ on $n$-ulotteinen avoin väli, niin $m(E) = l(E)$. Lebesguen mitta on siis geometrisen mitan laajennus siinä mielessä, että kaikilla niillä joukoilla, joilla geometrinen mitta on määritelty, on myös Lebesguen mitta ja se on sama kuin geometrinen mitta. Lebesguen mitta on samoin myös Jordanin mitan laajennus.

Jos $E_1, E_2, \ldots$ on jono pareittain erillisiä Lebesgue-mitallisia joukkoja, niin

$m \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} m(E_i)$.

Jos $E$ on numeroituva joukko, niin $m(E) = 0$.

Lebesguen mitta $m_n$ on täydellinen mitallisella kentällä $(\mathbb{R}^n,\operatorname{Bor} \, \mathbb{R}^n)$.

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali on mittaintegraali Lebesguen mitan suhteen. Kun määritellään

$f^+ : X \rightarrow [0, \infty] = \max \{ f,0 \}$ ja $f^- : X \rightarrow [0, \infty] = \max \{ -f,0 \}$

Lebesgue-mitalliselle funktiolle $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, ja edes toinen integraaleista $\int_E f^+ \,$ tai $\int_E f^- \,$ on äärellinen, voidaan Lebesguen integraali yli mitallisen joukon E määritellä

$\int_E f = \int_E f^+ - \int_E f^- \,$.

Mikäli

$\int_E |f| = \int_E f^+ + f^- < \infty$,

sanotaan, että funktio on Lebesgue-integroituva yli joukon E, ja merkitään esimerkiksi $f \in L^1(E)$. Lebesguen integraali on Riemannin integraalin aito laajennus: Mikäli Riemannin integraali funktiolle on olemassa, Lebesguen integraali antaa saman tuloksen. Lisäksi monille funktioille, jotka eivät ole Riemann-integroituvia, Lebesguen integraali antaa vaivatta modernin analyysin kannalta "oikean" tuloksen. Sanallinen kuvaus Lebesguen integraalin määritelmästä ja ominaisuuksista löytyy täältä.

Katso myös

• Banachin—Tarskin paradoksi
• Borel-joukko

Aiheesta muualla

• MathWorld. Lebesgue Measure
• MathWorld. Lebesgue Integral