Todennäköisyys

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Todennäköisyys on epävarmuuden kuvaamista tarkasti. Todennäköisyys on tärkeä käsite muun muassa tilastotieteessä, matematiikassa, luonnontieteissä ja filosofiassa.

Matematiikassa todennäköisyys ilmoitetaan nollan ja ykkösen välillä olevana lukuna. Matemaattisesti todennäköisyys on kuvaus potentiaalisten tapahtumien joukolta lukuvälille nollasta yhteen. Varman tapahtuman todennäköisyys on 1, mahdottoman 0. Matemaattinen lähestymistapa antaa struktuurin todennäköisyyksillä operointiin, todennäköisyyslaskentaan, mutta ei sinänsä kerro juuri mitään siitä, mitä todennäköisyys oikeastaan on tai mitä se tarkoittaa.

Lähestymistapoja todennäköisyyteen ovat muun muassa klassinen, jossa todennäköisyys jakautuu tasan toisensa poissulkevien ja yhtä todennäköisten tapahtumien kesken (muun muassa nopanheitto, jossa kunkin noppaluvun todennäköisyys on 1/6), frekvenssitodennäköisyys, jossa tapahtuman todennäköisyys on sen suhteellinen esiintyvyys äärettömän pitkässä koesarjassa ja subjektiivinen eli bayesiläinen todennäköisyys, jossa todennäköisyys kuvaa vajavaista tietoa.

Vaikka todennäköisyyslaskentaa on harjoitettu kauan, modernin systemaattisen todennäköisyyden matemaattisen teorian muotoili neuvostoliittolainen Andrei Kolmogorov vuonna 1933 ilmestyneessä teoksessaan Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (suom. Todennäköisyysteorian perusteet). [1] Kolmogorovin luomassa aksiomaattisessa järjestelmässä yhdistettiin todennäköisyyslasku ja mittateoria.[2] Tässä artikkelissa keskitytään todennäköisyyslaskennan perinteisempään käsittelyyn. Matemaattisempi ja kattavampi todennäköisyyslaskennan käsittely löytyy artikkelista todennäköisyysteoria.

Asetelma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matematiikassa tapahtuman A todennäköisyys on jokin reaaliluku 0:n ja 1:n väliltä. Sitä merkitään symbolilla P(A) tai \mathbb{P}(A) (kts. todennäköisyysteoria). Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on aina 0 ja varman tapahtuman todennäköisyys on aina 1. Kuitenkin on olemassa tapahtumia, jotka eivät ole täysin mahdottomia, mutta todennäköisyys on 0, tai vastaavasti on olemassa tapahtumia, jotka eivät ole aivan varmoja, mutta todennäköisyys on 1. Tästä ominaisuudesta enemmän artikkelissa melkein varma tapahtuma.

Tapahtuman A komplementtitapahtuman eli vastatapahtuman cA todennäköisyys P(cA) = 1 − P(A). Esimerkiksi todennäköisyys sille ettei yhden nopan heitossa saa silmäluvuksi 6:sta on 1 − todennäköisyys saada 6 = {1} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}.

Jos kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia, niin todennäköisyys sille, että tapahtumat A ja B sattuvat on

P(A \mbox{ ja }B) =  P(A \cap B) = P(A) P(B),\,

esimerkiksi jos kahta kolikkoa heitetään, niin todennäköisyys sille, että molemmat ovat kruunia on \tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}.

Heitto 1

Heitto2

Todennäköisyys

Kruuna Kruuna 0,25
Kruuna Klaava 0,25
Klaava Kruuna 0,25
Klaava Klaava 0,25

Jos kaksi tapahtumaa A ja B ovat erillisiä tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että tapahtuma A tai B sattuu on

P(A\mbox{ tai }B) =  P(A \cup B)= P(A) + P(B).

Esimerkiksi todennäköisyys heittää yhdellä nopalla silmäluku yksi tai kaksi on P(1\mbox{ tai }2) = P(1) + P(2) = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}.

Jos tapahtumat eivät ole erillisiä, niin pätee

\mathrm{P}\left(A \hbox{ tai } B\right)=\mathrm{P}\left(A\right)+\mathrm{P}\left(B\right)-\mathrm{P}\left(A \mbox{ ja } B\right).

Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys, on todennäköisyys tapahtumalle A sillä ehdolla, että tapahtuma B on jo tapahtunut. Ehdollinen todennäköisyys merkitään P(A|B), joka luetaan: "tapahtuman A todennäköisyys ehdolla B". Se määritellään kaavalla

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\,

Jos tapahtuman B todennäköisyys on 0, eli P(B)=0, niin P(A \mid B) ei ole määritelty, sillä 0:lla ei saa jakaa.

Lisää todennäköisyyslaskennasta artikkelissa todennäköisyysteoria.

Artikkeleita todennäköisyyslaskennasta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability mathematik.com. Viitattu 17.3. 2007. (englanniksi)
  2. Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto, 1998. - todennäköisyysmalli Viitattu 17.3.2007.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (1996).
  • Gustav Elfving ja Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II. Limes ry (1990).
  • Laininen, Pertti: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen. 5. korjattu painos. Helsinki: Otatieto, 2001 (7. painos 2004). ISBN 951-672-312-8.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]