Lukujono

Lukujono tai yksinkertaisesti jono on luettelo tietyn joukon alkioita.

• Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
• Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
• Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

Määritelmä

Tarkemmin lukujonolla (a_n) tarkoitetaan kuvausta

$a:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{K}$

missä $\mathbb{N}$ on luonnollisten lukujen joukko ja $\mathbb{K}$ mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = a_n. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a₀, a₁, a₂,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee x_n ≤ x_n+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee x_n < x_n+1. Vastaavasti määritellään laskeva ja aidosti laskeva lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko nouseva tai laskeva.

Erikoistapauksia

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus $d$ on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä $q$ on vakio. Geometrisen lukujonon yleinen termi on $a_n = a_1 q^{(n-1)}$.

Esimerkkejä

1. $(a_n)=n$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa $a_0=0, a_1=1$ ...

• Toisin sanoen $(a_n)=1, 2, 3, 4, 5, 6,...$

2. $(b_n)=n^2$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa $a_0=0, a_1=1, a_2=4,...$

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

$\left\{ \begin{matrix} f_1 & = & 1 & \\ f_2 & = & 1 & \\ f_{n+1} & = & f_n + f_{n-1}, & n=2, 3, 4... \end{matrix} \right.$

• Täten esimerkiksi $f_3=f_2 + f_1 = 1+1 = 2, \quad f_4=f_3 + f_2 = 2 + 1 = 3$.
• Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

4. Kun määritellään

$\left\{ \begin{matrix} a_0=2 \\ a_{n+1}=(a_n)^2 \end{matrix} \right.$

saadaan lukujono 2, 2² = 4, 4² = 16, 16² = 256, 256² = 65536,..., ts. a₀=2, a₁=4, a₂=16, a₃=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

Lukujonon maksimi ja minimi

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä, niin äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi. Todistus:

Todistetaan väite induktiolla:

1. Alkuaskel: Olkoon joukko X =: {x}, jolloin sen maksimi (ja minimi) ovat selvästi luku x. Eli väite pätee, kun joukossa on yksi alkio.

2. Induktio-oletus: Oletetaan, että mielivaltaisessa joukossa A on n alkiota eli #A = n, ja että väite pätee eli joukolla A on maksimi, max A.

3. Induktioaskel: Olkoon mielivaltaisessa joukossa B n + 1 alkiota. Poistetaan joukosta B jokin joukon alkio b. Nyt saadussa joukossa, C =: B\{b}, on n alkiota, joten sillä on olemassa kohdan 2. nojalla maksimi, max C. Täten myös joukolla B on olemassa maksimi ja se on max {max C, b}. Induktioaskel pätee, joten väite on todistettu.

Samalla tavoin todistetaan minimin olemassaolo.

Osajono

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi.

Esimerkiksi

Olkoon (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a.

Tällöin jono (a₂, a₄, a₅, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono.

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono.

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: a_y1, a_y2, a_y3, a_y4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y₁, y₂, y₃, ...). Tällöin pätee aina: y_n ≥ n.

Todistus induktiolla:

Alkuaskel: n = 1, jolloin y₁ on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y₁.

Induktio-oletus: n ≤ y_n.

Induktio-askel: n+1 ≤ y_n+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee y_n+1 ≤ y_n+1, mistä seuraa: n+1 ≤ y_n+1, MOT.

Jokaisella lukujonolla on monotoninen (eli nouseva tai laskeva) osajono.

Todistus:

Olkoon joukko S =: { n on luonnollinen luku | x_n ≤ x_k kaikilla k > n }

1.) Joukossa S on ääretön määrä alkoita:

S = {s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, ... ), jossa siis s₁ < s₂ < s₃ < ... < s_n < s_n+1 < ... etc.

Jos s_n kuuluu joukkoon S, niin x_sn ≤ x_sn+1 eli osajono x(s_n) on nouseva.

2.) Joukko S on äärellinen:

i.) Jos joukko S on tyhjä, valitaan r₁ = 1.

ii.) Jos joukko S ei ole tyhjä, valitaan r₁ =: max S + 1.

Koska r₁ ei kuulu joukkoon S, on olemassa r₂ > r₁ siten, että x_r1 > x_r2.

Koska r₂ ei kuulu joukkoon S, on olemassa r₃ > r₂ siten, että x_r2 > x_r3.

etc.

Saadaan siis osajono, jossa x_rn > x_rn+1, joka on siis aidosti laskeva.

Katso myös

• Sarja
• Cauchyn jono

Lähteet

Viitteet