Lukujono

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lukujono tai yksinkertaisesti jono on luettelo tietyn joukon alkioita.

  • Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
  • Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
  • Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkemmin lukujonolla (an) tarkoitetaan kuvausta

a:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{K}

missä \mathbb{N} on luonnollisten lukujen joukko ja \mathbb{K} mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = an. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (an) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (an) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee xnxn+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee xn < xn+1. Vastaavasti määritellään laskeva ja aidosti laskeva lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko nouseva tai laskeva.

Erikoistapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmeettinen lukujono[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus d on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on a_n = a_1 + d(n-1).

Geometrinen lukujono[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä q on vakio. Geometrisen lukujonon yleinen termi on a_n = a_1 q^{(n-1)}.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

1. (a_n)=n tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa a_0=0, a_1=1 ...

  • Toisin sanoen (a_n)=1, 2, 3, 4, 5, 6,...

2. (b_n)=n^2 tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa a_0=0, a_1=1, a_2=4,...

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

\left\{ \begin{matrix} f_1 & = & 1 & \\ f_2 & = & 1 & \\ f_{n+1} & = & f_n + f_{n-1}, & n=2, 3, 4... \end{matrix} \right.
  • Täten esimerkiksi f_3=f_2 + f_1 = 1+1 = 2, \quad f_4=f_3 + f_2 = 2 + 1 = 3.
  • Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

4. Kun määritellään

\left\{ \begin{matrix} a_0=2 \\ a_{n+1}=(a_n)^2 \end{matrix} \right.
saadaan lukujono 2, 22 = 4, 42 = 16, 162 = 256, 2562 = 65536,..., ts. a0=2, a1=4, a2=16, a3=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse.[1] Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ...[2] kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen[3] lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .

Lukujonon maksimi ja minimi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä, niin äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi. Todistus:

Todistetaan väite induktiolla:

1. Alkuaskel: Olkoon joukko X =: {x}, jolloin sen maksimi (ja minimi) ovat selvästi luku x. Eli väite pätee, kun joukossa on yksi alkio.

2. Induktio-oletus: Oletetaan, että mielivaltaisessa joukossa A on n alkiota eli #A = n, ja että väite pätee eli joukolla A on maksimi, max A.

3. Induktioaskel: Olkoon mielivaltaisessa joukossa B n + 1 alkiota. Poistetaan joukosta B jokin joukon alkio b. Nyt saadussa joukossa, C =: B\{b}, on n alkiota, joten sillä on olemassa kohdan 2. nojalla maksimi, max C. Täten myös joukolla B on olemassa maksimi ja se on max {max C, b}. Induktioaskel pätee, joten väite on todistettu.

Samalla tavoin todistetaan minimin olemassaolo.

Osajono[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi.

Esimerkiksi

Olkoon (a1, a2, a3, a4, a5, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a.

Tällöin jono (a2, a4, a5, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono.

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono.

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: ay1, ay2, ay3, ay4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y1, y2, y3, ...). Tällöin pätee aina: ynn.

Todistus induktiolla:

Alkuaskel: n = 1, jolloin y1 on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y1.

Induktio-oletus: nyn.

Induktio-askel: n+1 ≤ yn+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee yn+1 ≤ yn+1, mistä seuraa: n+1 ≤ yn+1, MOT.

Jokaisella lukujonolla on monotoninen (eli nouseva tai laskeva) osajono.

Todistus:

Olkoon joukko S =: { n on luonnollinen luku | xnxk kaikilla k > n }

1.) Joukossa S on ääretön määrä alkoita:

S = {s1, s2, s3, s4, s5, ... ), jossa siis s1 < s2 < s3 < ... < sn < sn+1 < ... etc.

Jos sn kuuluu joukkoon S, niin xsnxsn+1 eli osajono x(sn) on nouseva.

2.) Joukko S on äärellinen:

i.) Jos joukko S on tyhjä, valitaan r1 = 1.

ii.) Jos joukko S ei ole tyhjä, valitaan r1 =: max S + 1.

Koska r1 ei kuulu joukkoon S, on olemassa r2 > r1 siten, että xr1 > xr2.

Koska r2 ei kuulu joukkoon S, on olemassa r3 > r2 siten, että xr2 > xr3.

etc.

Saadaan siis osajono, jossa xrn > xrn+1, joka on siis aidosti laskeva.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet
  1. Information on Numerical Partitions Viitattu 26.1.2013. (englanniksi)
  2. Number of fixed polyominoes with n cells. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®). Viitattu 9.6.2013. (englanniksi)
  3. Polyomino Englanninkielinen Wikipedia. Viitattu 9.6.2013. (englanniksi)