Analyysin peruslause

Analyysin peruslauseet ovat lauseita, joiden mukaan kaksi analyysin perusmääritelmää, derivointi ja integrointi, ovat toistensa käänteistoimituksia. Analyysin peruslauseita on väitteen kumpaakin puoliskoa varten yksi, ja niiden nimet ovat analyysin ensimmäinen peruslause ja analyysin toinen peruslause. Siitä, kumpi on kumpi, ei liene täysin yksimielistä käytäntöä.

Analyysin ensimmäinen peruslause

Jos $f$ on välillä $[a,b]$ jatkuva funktio ja $F$ jokin sen integraalifunktio, niin F on derivoituva ja pätee:

$\displaystyle F'(x) = f(x)$

Lause voidaan kirjoittaa myös muodossa

$\frac{d}{dx} \int_c^x f(t) \, dt = f(x)$, missä $c \in [a,b]$.

Analyysin toinen peruslause

Olkoot $F_1$ ja $F_2$ funktion $f$ primitiivejä. Tällöin löytyy vakio $c$ siten, että

$F_1(x) = F_2(x) + c$ kaikille x.

Geometrinen tarkastelu

Punaisella funktion $f$ alue pisteeseen $x$ asti. Sininen ja punainen alue yhdessä vastaa $f$:n aluetta $x+h$ asti.

Merkitään kuvasta funktion $f$ alueen kokoa funktiolla $A$. Olkoon sinisen alueen leveys $h$. Kun h on pieni saadaan arvio siniselle alueelle:

$A \approx h \cdot f(x)$

Toisaalta sininen alue on $A(x + h) - A(x)$. Yhdistämällä saadaan:

$\begin{align} h \cdot f(x) & \approx A(x + h) - A(x) \\ f(x) & \approx \frac{A(x + h) - A(x)}{h} \end{align}$

Siis $f$ on $A$:n derivaatta, kun väli $h$ lähestyy nollaa.

$\begin{align} f(x) &= \frac{d}{dx}A = \lim_{h \to 0} \frac{A(x + h) - A(x)}{h} \end{align}$

Tästä seuraa, että derivoinnin käänteisoperaatiolla funktiosta $f$ saadaan funktio $A$.

Aiheesta muualla

• MathWorld. Fundamental Theorems of Calculus