Integraalifunktio

Wikipedia

Funktion ƒ Integraalifunktio on funktio F, jonka derivaatta on ƒ, eli F ′ = ƒ. Integraalifunktion määrittämistä eli derivoinnin käänteistoimitusta kutsutaan integroinniksi. Integraalifunktiolle käytetään ainakin kahta määritelmää, jotka ovat eräissä tapauksissa keskenään ristiriitaisia.

Sisällysluettelo

1 Ensimmäinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi
2 Toinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi (primitiivin määritelmä)
3 Integraalifunktiot eroavat toisistaan vakiolla
4 Integraalifunktioiden määrittäminen
5 Integraalifunktion yhteys määrättyyn (Riemann-) integraaliin
6 Alkeisfunktioiden integraalifunktioita
- 6.1 Tärkeimmät integraalifunktiot
- 6.2 Yleinen luettelo integroimiskaavoista
7 Aiheesta muualla

[muokkaa] Ensimmäinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi

Olkoon $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ Riemann-integroituva. Funktio $F$ on funktion $f$ eräs integraalifunktio, mikäli on olemassa $\alpha \in [a,b]$ siten, että

$F(x)=\int_\alpha^x f(t) \, dt$ kaikilla $x \in [a,b]$ .

Lisäksi myös funktio $G:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ on funktion $f$ integraalifunktio, mikäli $G = F + C$ jollain $C \in \mathbb{R}$ .

[muokkaa] Toinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi (primitiivin määritelmä)

Olkoon $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ . Mikäli on olemassa derivoituva funktio $F:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ siten, että $F' = f$ , niin $F$ on funktion $f$ primitiivi eli antiderivaatta (tai integraalifunktio).

Alempi määritelmä vaatii, että integraalifunktio on derivoituva, ylempi määritelmä taas ei. Primitiiviltä eli antiderivaatalta vaaditaan siis aina derivoituvuusominaisuus, mutta ylemmän määritelmän mukaiselta integraalifunktiolta ei välttämättä. Määritelmät ovat kuitenkin jatkuville funktiolle samat. Alempi määritelmä on käsitteelliseltä kannalta ongelmallinen: kaikilla integroituvilla funktioilla ei sen mukaan ole integraalifunktiota.

[muokkaa] Integraalifunktiot eroavat toisistaan vakiolla

Integraalifunktio on summattavaa vakiota lukuun ottamatta yksikäsitteinen. Toisin sanoen, jos $F$ on funktion $f$ jokin integraalifunktio, niin kaikki sen integraalifunktiot ovat muotoa $F + C$ , missä integroimisvakio $C \in \mathbb{R}$ on mielivaltainen. Integraalifunktiolle käytetään merkintää

$\int f(x) \, dx$ ,

missä integroimisvakiota ei ole kiinnitetty. Tätä merkintätapaa kutsutaan funktion $f$ määräämättömäksi integraaliksi. Merkintätapa tarkoittaa joko sitä, että $F$ on $f$ :n antiderivaatta, tai että $F$ on $f$ :n integraalifunktio. Jatkuville funktiolle nämä ovat sama asia.

[muokkaa] Integraalifunktioiden määrittäminen

Integraalifunktioiden määrittämistä kutsutaan integroinniksi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimenpide, jolla on tärkeä sovellus määrätyn Riemannin integraalin arvon laskemisessa.

Kaikkien alkeisfunktioiden integraalifunktioita ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Tunnetuimpia esimerkkejä näistä ovat

$e^{-x^2}$ , $\frac{1}{\ln x}$ ja $\frac{\sin x}{x}$ .

Määräämätön integraali on lineaarinen, eli jos funktioilla $f$ ja $g$ on integraalifunktiot ja $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ , niin

$\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int f(x) \, dx + \beta \int g(x) \, dx$ .

Tässä kaavassa on oletettu, että yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella integroimisvakiot on sopivasti valittu.

[muokkaa] Integraalifunktion yhteys määrättyyn (Riemann-) integraaliin

Analyysin toisesta peruslauseesta seuraa, että jos funktio $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ on jatkuva, voidaan kirjoittaa

$F(x)-F(a) = \int_a^x f(t) \, dt$ .

[muokkaa] Alkeisfunktioiden integraalifunktioita

Alla olevissa kaavoissa integroimisvakiota ei ole merkitty näkyviin ja muuttujaa merkitään kirjaimella $x$ . Kaikki integraalifunktiot eivät ole olemassa koko reaalilukujen joukossa.

[muokkaa] Tärkeimmät integraalifunktiot

Vakion integraalifunktio: jos $k \in \mathbb{R}$ , niin

$\int k \, dx = kx$ .

Potenssifunktion integraalifunktio: jos $n \in \mathbb{R}$ ja $n \neq -1$ , niin

$\int \, x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}$ .

Edellisen erikoistapaus $n = - 1$ eli käänteisfunktion integraalifunktio:

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x|$ .

Tärkeimpien trigonometristen funktioiden integraalifunktiot:

$\int \sin x \, dx = -\cos x$ ja $\int \cos x \, dx = \sin x$

Eksponenttifunktion integraalifunktio:

$\int e^x \, dx = e^x$ .

Itseisarvofunktion ja luonnollisen logaritmin yhdistelmän integraalifunktio:

$\int \ln |x| \, dx = x \ln |x| - x$ .

[muokkaa] Yleinen luettelo integroimiskaavoista

Alla olevissa kaavoissa $f$ ja $g$ ovat $x$ :stä riippuvia Riemann-integroituvia funktioita, $k$ reaaliluku ja $a$ positiivinen reaaliluku.

$\int kf \, dx$	$=\,$	$k \int f \, dx$
$\int f'g \, dx$	$=\,$	$fg - \int g'f \, dx$
$\int (f+g) \, dx$	$=\,$	$\int f \, dx + \int g \, dx$
$\int 0 \, dx$	$=\,$	$0\,$
$\int k \, dx$	$=\,$	$kx\,$
$\int x^n \, dx$	$=\,$	$\frac{1}{n+1} x^{n+1}$ , kun $n \ne -1$
$\int \frac{1}{x} \, dx$	$=\,$	$\ln \|x\|\,$
$\int f'f^n \, dx$	$=\,$	$\frac{1}{n+1} f^{n+1}$ , kun $n \ne -1$
$\int \frac{f'}{f} \, dx$	$=\,$	$\ln \|f\|\,$
$\int \sin x \, dx$	$=\,$	$-\cos x\,$
$\int \cos x \, dx$	$=\,$	$\sin x\,$
$\int \tan x \, dx$	$=\,$	$-\ln \|\cos x\|\,$
$\int f' e^f \, dx$	$=\,$	$e^f\,$
$\int a^x \, dx$	$=\,$	$\frac{a^x}{\ln a}$
$\int \ln \|x\| \, dx$	$=\,$	$x \ln \|x\| - x\,$
$\int \log_a x \, dx$	$=\,$	$\log_a e (x \ln \|x\| - x)\,$ , kun $a > 0\,$ ja $a \ne 1$