Derivaatta

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Derivaatta tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujansa suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin keskimääräisestä muutosnopeudesta, jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla muutosnopeus yhdessä kohtaa. Sanaa derivaatta käytetään Suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion homonyyminä.[1][2]

Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla (keskimääräinen muutosnopeus), jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollisetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.[1][2]

Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttuja funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi. Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään Jacobin matriisin avulla.[3]

Yhden reaalimuuttujan funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sekantin asennon kääntyminen tangentiksi.

Määritelmä kahden kohdan avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhden reaalimuuttujan funktion f(x) derivaatan f'(x) formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä x_0 ja x

\frac{\text{funktion f arvon muutos}}{\text{muuttujan x arvon muutos}}=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

Välin [x_0,x] jälkimmäistä päätepistettä x siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä x_0. Tämä merkitään raja-arvon arvolla

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. [3]

Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla f(x) on derivaatan arvo kohdassa x_0, joka merkitään tavallisesti f'(x_0). [4][2]

Määritelmä välin pituuden avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erotusosamäärä ja sekantti.

Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden x_0 ja x=x_0+h avulla, missä luku h = x-x_0 on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan

\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Nyt väliä [x_0,x]=[x_0,x_0+h] voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua h, jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä x_0

f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. [1][2]

Derivaatan olemassaolo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Derivaatta on olemassa pisteessä x_0, mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleinen että oikeanpuoleinen derivaatta tulee olla olemassa ja niiden arvot tulisi olla yhtä suuret.[3][5][6]

Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi määritelmä. Sellainen on esimerkiksi

\forall {\epsilon>0} \, \exists {\delta>0} : |x-x_0|<\delta \Rightarrow \left|{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}-f'(x_0)\right|<\epsilon\,.

Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille \epsilon >0\, löytyy siitä riippuva luku \delta >0\, siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle \epsilon\,:in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle \delta\,:n päässä tarkasteltavasta pisteestä. Mikäli aina lukua \epsilon\, pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi \delta\,, voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo löytyy.

Yhden muuttujan derivaattafunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan derivoimiseksi. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös derivaataksi. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.

Määritetään funktion f(x) derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä x hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi f'(x) (käytetään toista määritelmää)

f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. [2]

Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.[2]

Esimerkiksi funktion f(x)=x^2 derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:

f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x^2+2hx+h^2)-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2hx+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x+0=2x.

Lausekkeella f'(x)=2x voi helposti laskea funktion f(x)=x^2 derivaatan arvojailman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.[3]

Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelualueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piiretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.[2]

Derivaatta-operaattori ja muita merkintätapoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä

D x^2=2x. [1]

Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion dervivaattafunktiota merkitään

f' = f'(x)\,.

Siinä oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan dervivoinnissa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään t), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää

\dot f = \dot f(t)\,. [1]

Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä

D_xf = \frac{df}{dx}\,.

Merkinnät df ja dx tarkoittavat suureiden f\, ja x\, differenssejä ja nimittäjästä dx voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.[1]

Derivaatan arvo jossakin kohdassa a\, merkitään vastaavasti f'(a)\,, Df(a)\,,  \left(\frac{df}{dx}\right)_{x=a} tai \dot f(a)\,.

Moninkertaiset derivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun funktion f\,:n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota f\, kutsutaan kahdesti derivoituvaksi. Kahdesti derivoitu funktio eli toinen derivaatta määritetään

f''(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} [1]

ja merkitään f''\,, D^2 f(x)\, tai \frac{d^2 f}{dx^2}. Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos f\,:n (n-1)\,:s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on n\, kertaa derivoituva, ja sen n\,:ttä derivaattaa merkitään f^{(n)}\,, D^n f(x)\, tai \frac{d^n f}{dx^n}\,. [1][7][8]

Jos funktion (n\,:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan (n\, kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion n\,:s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on C^n\,-funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan C^{\infty}\,-funktio.lähde?

Eräiden alkeisfunktioiden derivointia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.

Potenssin derivaatta Trigonometristen funktioiden derivaatat Arkusfunktioiden derivaatat
D x^n = n x^{n-1}\,, missä n \in \mathbb{Z} D \sin x = \cos x\, D \arcsin x = {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,
D \sqrt{x} = {1 \over 2\sqrt{x}}\, [2] D \cos x = -\sin x\, D \arccos x = -{1 \over \sqrt{1-x^2}}\,
D \sqrt[3]{x} = {1 \over 3\sqrt[3]{x^2}}\, D \tan x = {1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\, D \arctan x = {1 \over 1+x^2}\,
D \sqrt[n]{x} = {1 \over n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\, D \cot x = -{1 \over \sin^2 x} = -1 - \cot^2 x\, D \arccot x = -{1 \over 1+x^2}\,
Eksponenttifunktion derivaatta Hyperbolisten funktioiden derivaatat Hyperbolisten käänteisfunktioiden derivaatat
D e^x = e^x\, D \sinh x = \cosh x\, D\ \operatorname{arsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}\,
D a^x = a^x \ln a\,, missä a > 0\, D \cosh x = \sinh x\, D\ \operatorname{arcosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}\,
D \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x}\, D\ \operatorname{artanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}\,
Logaritmifunktioiden derivaatat
D \ln |x| = {1 \over x}\,
D \log_{a} |x| = {1 \over x \ln a}\,, missä a > 0\, ja a \ne 1

Potenssin derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan

D f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\,,

jolloin potenssifunktiolle saadaan

D x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}\,.

Koska

(x+h)^n=a_0x^n + a_1 hx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n\,,

missä a_i vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti a_0 = 1\, ja a_1 = n\,), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa

D x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(\cancel{x^n} + nhx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n) - \cancel{x^n}}{h}\,
= \lim_{h \to 0} (nx^{n-1} + a_2 hx^{n-2} + a_3 h^2x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-2}x + h^{n-1})\,
= nx^{n-1} + 0 + 0 + ... + 0 + 0\,
= nx^{n-1}\,. [7]

Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion \sum_{k=0}^n a_kx^k derivaatta.

Yleisiä derivointisääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida.seuraavien sääntöjen puitteissa.

Säännön nimi Derivointisääntö
Vakion derivaatta D c = 0\,, kun c\, on vakio.[3]
Vakion siirto  D c f(x) = c D f(x)\, [1][3]
Summan derivaatta D (f(x) + g(x)) = D f(x) + D g(x)\, [1][7][3]
Tulon derivaatta D (f(x) g(x)) = g(x)D f(x) + f(x)D g(x)\, [1][9][10][3]
Funktion potenssin derivaatta D f(x)^n = nf(x)^{n-1}f'(x)\, [9][11]
Osamäärän derivaatta D \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{g(x)D f(x) - f(x)D g(x)}{g(x)^2}\, [11][10][3]
Yhdistetyn funktion derivaatta D g(f(x)) = g'(f(x)) f'(x)\, [3]
Käänteisfunktion derivaatta (f^{-1})'(f(x))= {1 \over f'(x)}\,, jossa f^{-1}\, on f\,:n käänteisfunktio.[3]

Vakiofunktion f(x)=c derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:

 Dc = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{c-c}{h} = 0.

Yhden kompleksimuuttujan funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia z = x + iy, ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun z_0) määriteltyä kompleksifunktiota f(z)=u(x,y) + iv(x,y), pystytään joskus määrittämään funktion f(z) derivaatta.

Holomorfinen funktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Derivaatta on olemassa, mikäli f(z) toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt [12] ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen z_0 ympäristössä G jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo

f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} [13]

voidaan määrittää yksikäsitteisesti.[14]

Derivaatan olemassaolo toteaminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki

f(z)= z^2 = (x+iy)^2 = x^2+xiy + iyx - y^2 = (x^2-y^2)+i(2xy) = u(x,y) + iv(x,y).

Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat [12][15]

u_x(x,y) = { \partial u(x,y) \over \partial x } ={ \partial (x^2-y^2) \over \partial x } =2x-0=2x,
v_y(x,y) = { \partial v(x,y) \over \partial y } ={ \partial (2xy) \over \partial y } =2x \cdot 1=2x,
u_y(x,y) = { \partial u(x,y) \over \partial y } ={ \partial (x^2-y^2) \over \partial y } =0-2y=-2y ja
v_x(x,y) = { \partial v(x,y) \over \partial x } ={ \partial (2xy) \over \partial x } =2 \cdot 1 \cdot y=2y.

Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt

u_x(x,y)=v_y(x,y)

ja

u_y(x,y)=-v_x(x,y),

on funktio f(z)= z^2 derivoituva.[12]

Kompleksifunktioiden derivointikaavat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki derivoidusta paraabelista.

Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys g\, , kun mitataan putoavan pallon putoama matka s\, ajan t\, funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista

s = s_{0} + \frac{1}{2}g t^{2}, \,

ja nopeus v\, on matkan derivaatta ajan suhteen

v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(s_{0} + \frac{1}{2}g t^{2}\right) = \frac{1}{2}g\ 2 t = gt,

mistä edelleen kiihtyvyys g\, on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:

\frac{d^{2}s}{d t} = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{dt}\left(gt\right) =  g.\

Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan kiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä \frac{dx}{dt} = \dot x ja \frac{d^{2}x}{dt} = \ddot x.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muutujan muutosväli. Käyttöön otettiin infinitesimaalin käsite. Se vastasi "pienintä mahdollista muutosta" suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu erotusosamäärällä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän raja-arvona.[1][2]

Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta (johdos) otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f g h i j k l Weisstein, Eric W.: Derivative (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b c d e f g h i Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s.70−79
  3. a b c d e f g h i j k Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s.46-51
  4. Richard Courant & Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis 1, s. 158. Springer. ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)
  5. Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 188-192
  6. Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: Pyramidi 13 - Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi, s. 42-46. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.
  7. a b c Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s.83-92
  8. Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s.51-53
  9. a b Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s.97-102
  10. a b Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s.178-179
  11. a b Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s.107-114
  12. a b c Weisstein, Eric W.: Cauchy-Riemann Equations (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  13. Weisstein, Eric W.: Complex Differentiable (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  14. Weisstein, Eric W.: Complex Derivative (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  15. Weisstein, Eric W.: Partial Derivative (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Derivaatta.