Käänteisfunktio

Wikipedia

Okoon $f:A\to B$ funktio. $f\,$ :n kuvajoukko $f(A)\,$ on kaikkien niiden alkioiden $y\in B\,$ joukko, joille $y=f(x)\,$ jollain $x\in A\,$ . Jos $f\,$ on injektio eli jos ehdosta $f(x_1)=f(x_2)\,$ aina seuraa $x_1=x_2\,$ , on mahdollista määritellä funktio $g:f(A)\to A$ asettamalla $g(y)\,$ :ksi se $x\in A$ , jolle $y=f(x)\,$ . Täten $g\,$ tulee toteuttamaan ehdon $g(f(x))=x\,$ kaikilla $x\in A$ ja $f(g(y))=y\,$ kaikilla $y\in f(A)$ . Funktiota $g$ sanotaan funktion $f\,$ käänteisfunktioksi ja sitä merkitään synbolilla $f^{-1}\,$ . Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion <math<f\,</math> käänteisfunktion lauske voidaan usein määrittää ratkaisemalla $x\,$ yhtälöstä $y=f(x)\,$ . Esimerkiksi funktion $f:\Bbb R\to \Bbb R$ , $f(x)=2x+3\,$ käänteisfunktioksi saadaan näin $f^{-1}:\Bbb R\to \Bbb R$ , $f^{-1}(y)=\frac{1}{2}(y-3)$ .

Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla $f\,$ olisi käänteisfunktio, $f\,$ :n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Siten esimerkiksi funktiolla $f:\Bbb R\to \Bbb R$ , $f(x)=x^2\,$ ei ole käänteisfunktiota, mutta $f:\Bbb R^+\to \Bbb R^+$ , $f(x)=x^2\,$ , on käänteisfunktio $f^{-1}\,$ , $f^{-1}(y)=\sqrt y$ .