Käänteisfunktio

Käänteisfunktio on funktio, joka on olemassa tietyt ehdot täyttävillä funktioilla. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja, eli käänteisfuntion arvojoukko vastaa alkuperäisen funktion määrittelyjoukkoa ja päinvastoin.

Määritelmä

Olkoon $f:A\to B$ funktio. $f\,$:n kuvajoukko $f(A)\,$ on kaikkien niiden alkioiden $y\in B\,$ joukko, joille $y=f(x)\,$ jolloin $x\in A\,$. Jos $f\,$ on injektio (ehdosta $f(x_1)=f(x_2)\,$ aina seuraa $x_1=x_2\,$) on mahdollista määritellä funktio $g:f(A)\to A$ asettamalla $g(y)\,$:ksi se $x\in A$, jolle $y=f(x)\,$. Täten $g\,$ tulee toteuttamaan ehdon $g(f(x))=x\,$ kaikilla $x\in A$ ja $f(g(y))=y\,$ kaikilla $y\in f(A)$.

Funktiota $g\,$ sanotaan funktion $f\,$ käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla $f^{-1}\,$. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

Jos funktio $g\,$ on funktion $f\,$ käänteisfunktio, on samalla myös $f\,$ funktion $g\,$ käänteisfunktio.

Reaalifunktiot

Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion $f\,$ käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla $x\,$ yhtälöstä $y=f(x)\,$. Esimerkiksi funktion $f:\Bbb R\to \Bbb R$, $f(x)=2x+3\,$ käänteisfunktioksi saadaan näin $f^{-1}:\Bbb R\to \Bbb R$, $f^{-1}(y)=\frac{1}{2}(y-3)$.

Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla $f\,$ olisi käänteisfunktio, $f\,$:n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio.. Siten esimerkiksi funktiolla $f:\Bbb R\to \Bbb R$, $f(x)=x^2\,$ ei ole käänteisfunktiota, mutta (positiivisten reaalilukujen joukossa) $f:\Bbb R^+\to \Bbb R^+$, $f(x)=x^2\,$, on käänteisfunktio $f^{-1}\,$, $f^{-1}(y)=\sqrt y$.

Esimerkkejä

• Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion $y = x^n\,$ käänteis­funktio on juurifunktio $y = \sqrt[n]{x}$. Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteis­funktio koko reaali­luku­alueella. Vastaavasti juurifunktion käänteis­funktio on potenssi­funktio.
• Eksponenttifunktion $y = e^x\,$käänteis­funktio on logaritmifunktio $y = \ln x\,$.
• Trigonometrisilla funktioilla koko reaali­luku­alueella määriteltyinä ei ole käänteis­funktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteis­funktiot, joita sanotaan arkus­funktioiksi.

Käänteisfunktion derivaatta

Jos $f\,$ ja $f^{-1}\,$ ovat reaalimuuttujan derivoituvia funktioita, niin on voimassa kaava

$\left( f^{-1} \right)' (f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$.