Gradientti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka operoi skalaarifunktioihin (kts. myös roottori ja divergenssi). Kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään grad(f) tai \nabla f ja määritellään

\nabla f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) \vec{k} ,

missä ”varoituskolmio” \nabla luetaan ’nabla’ ja derivaatat ovat osittaisderivaattoja eri muuttujien suhteen. Tavallisen yhden muuttujan derivaattaoperaattorin analogia esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa on siis

 \nabla = \vec{i} \partial_x + \vec{j} \partial_y + \vec{k} \partial_z .

Yleisen n muuttujan funktion gradientti määritellään

 \nabla f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}), & \frac {\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}), &\cdots & ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{bmatrix}^T,

missä siis

 \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1, & x_2, & \cdots, & x_n \end{bmatrix}^T .

Gradientti on derivaatan yleistys funktioille f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, ja seuraava askel funktioille \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p on niin sanottu Jacobin matriisi. Gradientti on ”täysiverinen” vektori.selvennä Osoittautuu myös, että funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.[1]


Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

\Delta f(x) = f'(x) \Delta x \;,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

\Delta f(\mathbf{x}) = \nabla f \cdot \Delta \mathbf{x} ,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin \vec{e} suuntaan on

 \partial_{\vec{e}} f(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \vec{e}_0 ,

missä \vec{e}_0\; on \vec{e}\;:n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.[2]

Ketjusääntö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

 \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1(t), & x_2(t), & \cdots, & x_n(t) \end{bmatrix}^T ,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

 \frac{df(\mathbf{x}(t))}{dt} = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{x}'(t) ,

missä siis

 \mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} x_1'(t), & x_2'(t), & \cdots, & x_n'(t) \end{bmatrix}^T .

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

 \nabla f(r,\phi) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r}  +  \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} ,

sylinterikoordinaatistossa

 \nabla f(r,\phi,z) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r}  +  \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} + \vec{e}_z \frac{\partial f}{\partial z}

sekä pallokoordinaatistossa

 \nabla f(r,\theta,\phi) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r}  + \vec{e}_{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial f}{\partial \phi} .

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat  \begin{cases} x = r \sin \theta \cos \phi  \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end{cases}

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivates”, Calculus: A Complete Course, s. 680. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
  2. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivates”, Calculus: A Complete Course, s. 681. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]