Gradientti

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka operoi skalaarifunktioihin (kts. myös roottori ja divergenssi). Kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään grad(f) tai $\nabla f$ ja määritellään

$\nabla f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) \vec{k}$,

missä ”varoituskolmio” $\nabla$ luetaan ’nabla’ ja derivaatat ovat osittaisderivaattoja eri muuttujien suhteen. Tavallisen yhden muuttujan derivaattaoperaattorin analogia esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa on siis

$\nabla = \vec{i} \partial_x + \vec{j} \partial_y + \vec{k} \partial_z$.

Yleisen n muuttujan funktion gradientti määritellään

$\nabla f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}), & \frac {\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}), &\cdots & ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{bmatrix}^T$,

missä siis

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1, & x_2, & \cdots, & x_n \end{bmatrix}^T$.

Gradientti on derivaatan yleistys funktioille $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, ja seuraava askel funktioille $\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p$ on niin sanottu Jacobin matriisi. Gradientti on ”täysiverinen” vektori. Osoittautuu myös, että funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.

Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjä

Differentiaali

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

$\Delta f(x) = f'(x) \Delta x \;$,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

$\Delta f(\mathbf{x}) = \nabla f \cdot \Delta \mathbf{x}$,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaatta

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin $\vec{e}$ suuntaan on

$\partial_{\vec{e}} f(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \vec{e}_0$,

missä $\vec{e}_0\;$ on $\vec{e}\;$:n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.

Ketjusääntö

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1(t), & x_2(t), & \cdots, & x_n(t) \end{bmatrix}^T$,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

$\frac{df(\mathbf{x}(t))}{dt} = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{x}'(t)$,

missä siis

$\mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} x_1'(t), & x_2'(t), & \cdots, & x_n'(t) \end{bmatrix}^T$.

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

$\nabla f(r,\phi) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r} + \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi}$,

sylinterikoordinaatistossa

$\nabla f(r,\phi,z) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r} + \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} + \vec{e}_z \frac{\partial f}{\partial z}$

sekä pallokoordinaatistossa

$\nabla f(r,\theta,\phi) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r} + \vec{e}_{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial f}{\partial \phi}$.

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat $\begin{cases} x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end{cases}$

Katso myös

• Derivaatta
• Roottori
• Divergenssi

Aiheesta muualla

• Weisstein, Eric W.: Gradient. MathWorld--A Wolfram Web Resource. (englanniksi)