Divergenssi

Divergenssi (lähteisyys; engl. divergence) on matematiikassa vektorilaskentaan liittyvä differentiaalioperaattori, joka kuvaa vektorikentän lähteisyyttä. Kolmiulotteisen vektorin $\mathbf{F} = F_1 \vec{i} + F_2 \vec{j} + F_3 \vec{k}$ divergenssi määritellään

$\operatorname{div} (\mathbf{F}) = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$.

Määritelmästä nähdään, että divergenssi voidaan muodollisesti kirjoittaa vektorikentän ja nablaoperaattorin pistetulona, eli

$\operatorname{div} (\mathbf{F}) \equiv \nabla \cdot \mathbf{F}$

Tätä pistetulomerkintää käytetäänkin yleisesti divergenssin symbolina. Gradientin komponenteilla eli osittaisderivaattaoperaattoreilla kertominen vastaa siis derivointia kyseessä olevan muuttujan suhteen. Vektorikentän divergenssi on skalaarikenttä, joka voidaan määritellä myös mielivaltaisen moniulotteiselle vektorikentälle $\mathbf{F} = (F_1,F_2,\ldots,F_n)$ laskukaavalla

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \ldots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}$.

Divergenssi on huomattavan keskeinen suure fysiikassa: tämän huomaa esimerkiksi Maxwellin yhtälöiden differentiaalimuodoista. Lisäksi pinta- ja tilavuusintegraali kytkeytyvät toisiinsa varsin yksinkertaisella tavalla divergenssin kautta (Gaussin divergenssilause).

Katso myös

• Gradientti
• Roottori
• Gaussin divergenssilause

Aiheesta muualla

• Mathworld. Divergence