Maxwellin yhtälöt

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Maxwellin yhtälöt ovat neljän yhtälön kokoelma, joka kuvaa sähköisten ja magneettisten kenttien käyttäytymistä ja niiden vuorovaikutusta. Yhdessä väliainerelaatioiden ja Lorentzin voiman kanssa Maxwellin yhtälöt mallintavat koko sähkömagneettisen luonnonilmiön makroskooppisessa mittakaavassa. Yhtälöt on nimetty fyysikko James Clerk Maxwellin mukaan.

Maxwellin yhtälöt kuvaavat neljää sähkö- ja magnetismiopin perusominaisuutta:

Maxwell kuvasi nämä ilmiöt vuonna 1861 ilmestyneessä artikkelissaan On Physical Lines of Force yhtälöissä, jotka Oliver Heaviside vuonna 1884 kokosi nykyisin tunnetuiksi neljäksi yhtälöksi käyttäen vasta kehitetyn vektorianalyysin merkintätapaa.

Maxwell myös näytti, kuinka yhtälöt ennustivat vaihtuvien sähkömagneettisten aaltojen etenevän tyhjässä avaruudessa nopeudella, joka voitiin laskea sähkö- ja magneettiopissa tunnettujen luonnonvakioiden avulla ja joka laskujen mukaan näytti olevan sama kuin valonnopeus. Tästä hän päätteli, että valo koostuukin juuri sähkömagneettisista aalloista. Myöhemmin vuonna 1888 Heinrich Hertz osoitti, että valonnopeudella eteneviä sähkömagneettisia aaltoja, tosin pidempiaaltoisia ja silmälle näkymättömiä, voitiinkin saada aikaan sähkömagneettisten värähtelypiirien avulla. Niitä sanotaan nykyisin radioaalloiksi. Maxwellin yhtälöistä seuraava valon vakioinen nopeus tyhjiössä oli myöhemmin Einsteinin suhteellisuusteorian peruspostulaatteja.

Maxwellin yhtälöt ovat siinä mielessä nykyaikaisen yhteiskunnan keskeistä pohjaa, että suuri osa sähkötekniikasta (sähkömoottorit, sähkön tuotanto, sähkön siirto, valokaapelit, radiot, lankapuhelin, tutkat jne.) perustuu sähkömagnetismiin, jota Maxwellin yhtälöt kuvaavat. Tosin usein sähkötekniikan sovelluksien mallintamiseen käytetään Maxwellin yhtälöiden kuvaaman sähkömagneettisen mallin tilannekohtaisia approksimaatioita, kuten esimerkiksi piiriteoriaa (Kirchhoffin piirilait).

Yhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Maxwellin yhtälöt voidaan esittää tarpeen mukaan joko differentiaali- tai integraalimuodossa.

Differentiaalimuoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaalimuodossaan Maxwellin yhtälöt kuvaavat kuinka sähkömagneettiset vektorikentät vastaavat toisiaan pisteittäin. Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat Gaussin lait sähkö- ja magneettikentille, kolmas Faradayn induktiolaki ja viimeinen Ampère-Maxwellin laki. Differentiaalimuotoiset yhtälöt ovat [Grant 1]

 \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},

missä

D on sähkövuon tiheys,
\rho on varaustiheys,
B on magneettivuon tiheys,
E on sähkökentän voimakkuus,
H on magneettikentän voimakkuus,
J on sähkövirran tiheys.

Näissä merkintä  \nabla \cdot (nabla piste) tarkoittaa vektorifunktion divergenssiä eli lähteisyyttä (yksikkönä 1/m). Merkintä \nabla \times (nabla risti) sen roottoria eli pyörteisyyttä (yksikkönä 1/m).

Integraalimuoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Integraalimuodossa Maxwellin yhtälöt kuvaavat, miten sähkömagneettiset kentät riippuvat toisistaan, kun niitä integroidaan makroskooppisten kappaleiden yli. Integraalimuoto on erityisen hyödyllinen kenttien määrittämisessä, kun tutkittava geometria sallii symmetrioiden hyödyntämisen. Integraalimuotoiset Maxwellin yhtälöt ovat

 \oint_{\partial V} \mathbf{D}\cdot \mathbf{n} \ da = \int_V \rho \ dV \ \ \   \forall \ V
 \oint_{\partial V} \mathbf{B}\cdot \mathbf{n} \ da = 0 \ \ \   \forall \ V
 \oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -{\part  \over \part t} \int_S \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} \ da \ \ \   \forall \ S
 \oint_{\partial S} \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int_S\mathbf{J}\cdot \mathbf{n} \ da + {\part  \over \part t} \int_S \mathbf{D} \cdot \mathbf{n} \ da \ \ \   \forall \ S

missä D, \rho, B, E, H, J ovat kuten edellä ja

\mathbf{S} on mielivaltainen pinta ja \partial \mathbf{S} sen sulkeutuva reunakäyrä,
\mathbf{V} on mielivaltainen tilavuus ja \partial \mathbf{V} sen sulkeutuva reunapinta,
\mathbf{n} on integroimispinnan ulkonormaali.

Kenttien riippuvuudet väliaineissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eri sähkömagneettiset kentät riippuvat toisistaan lineaarisissa väliainessa seuraavasti:

\mathbf{D} =  \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{J} =  \sigma \mathbf{E}
\mathbf{B} =  \mu \mathbf{H}

missä:

\varepsilon on väliaineen permittiivisyys, tyhjiössä  \varepsilon = \varepsilon_0 .
\mu on väliaineen permeabiliteetti, tyhjiössä \mu = \mu_0
\sigma on väliaineen johtavuus, tyhjiössä \sigma = 0, ideaalijohteessa \sigma = \infty

Maxwellin yhtälöt tyhjiössä ja valonnopeus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tyhjiössä Maxwellin yhtälöt kirjoitetaan muodossa [Grant 2]

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Tyhjiössä vuontiheyksien (D ja B) sekä kenttävoimakkuuksien (E ja H) suhteet ovat yleisiä luonnonvakioita: \frac{{D}}{{E}} = \varepsilon_0 , sähkövakio, joka nykyisissä SI-yksiköissä on = 8,854 · 10-12 As/Vm, ja vastaavasti \frac{{B}}{{H}} = \mu_0 = 1,2566 10-6/ Vs/Am, magneettivakio. Maxwellin yhtälöistä seuraa, että tyhjiössä sähkömagneettiset aallot etenevät nopeudella

c_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \ .

ja osoittautui, että näin laskettu nopeus, noin 3 · 108 m/s, oli sama kuin valonnopeus.

Maxwellin yhtälöt ja magneettiset monopolit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Maxwellin yhtälöt on laadittu olettaen, että magneettisia monopoleja ei ole olemassa. Sellaisia ei ole myöhemminkään havaittu, mutta eräissä nykyisen hiukkasfysiikan teorioissa sellaisten olemassaoloa pidetään mahdollisena. Jos sellaisia löydetään, voidaan Maxwellin yhtälöihin kuitenkin melko luontevasti lisätä niiden edellyttämät termit. Tällöin yhtälöt saisivat alkuperäistä symmetrisemmän muodon.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksittäiset yhtälöt:

Muuta aiheeseen liittyvää:

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • I. S. Grant & W. R. Phillips: ”11.1”, Electromagnetism, 2. painos. Wiley, 2003. ISBN 0-471-92712-0. (englanniksi)
  1. sivu 356
  2. sivu 365