Tulon derivoimissääntö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.

Olkoot funktiot f \,\! ja g \,\! derivoituvia pisteessä x \,\! . Tällöin funktio  h(x) = f(x)g(x) \,\! on derivoituva ja


 h'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \,\! .


Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:


(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\! .


Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan

f'\left(a\right) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f\left(a+\Delta a\right) - f\left(a\right)}{\Delta a} .'


Olkoon funktio  h(x) = f(x)g(x) \,\! derivoituva, ja todistetaan että


h'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{ h(x+\Delta x) - h(x) \over \Delta x }. \qquad\qquad(1)


Ilmaistaan yhtälö \qquad(1) funktioiden f \,\! ja g \,\! avulla

h'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x) \over \Delta x }. \qquad\qquad(2)


Lisätään ja vähennetään termi  f(x)+g(x+\Delta x) \,\! yhtälöön \qquad(2) ja järjestetään termit uudelleen:

h'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)+(f(x)+g(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)) - f(x)g(x) \over \Delta x }


= \left(\lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x) - f(x) \over \Delta x}\right)\left(\lim_{\Delta x\to 0}g(x+w)\right) 
+ \left(f(x)\right) \left(\lim_{w\to 0} {g(x+\Delta x) - g(x) \over \Delta x} \right).
\qquad\qquad(3)


Derivaatan määritelmän perusteella

f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x }


ja

g'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x } .


Sen lisäksi nyt pätee

\lim_{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)= g(x) ,


jolloin yhtälöstä \qquad(3) saadaan


 h'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \,\! .

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Derivoidaan ƒ(x) = x2 sin(x). Koska x2:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) + x2cos(x).


Yleistyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Useamman kuin kahden funktion tulo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on

(u\cdot v\cdot w)'=u'\cdot v\cdot w+u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'


Korkeamman asteen derivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle:

(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot  v^{(k)}(x).

Katso myös binomilause and binomikerroin.