Tulon derivoimissääntö

Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.

Olkoot funktiot $f \,\!$ ja $g \,\!$ derivoituvia pisteessä $x \,\!$ . Tällöin funktio $h(x) = f(x)g(x) \,\!$ on derivoituva ja

$h'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \,\!$ .

Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\!$ .

Todistus

Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan

$f'\left(a\right) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f\left(a+\Delta a\right) - f\left(a\right)}{\Delta a}$ .'

Olkoon funktio $h(x) = f(x)g(x) \,\!$ derivoituva, ja todistetaan että

$h'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{ h(x+\Delta x) - h(x) \over \Delta x }. \qquad\qquad(1)$

Ilmaistaan yhtälö $\qquad(1)$ funktioiden $f \,\!$ ja $g \,\!$ avulla

$h'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x) \over \Delta x }. \qquad\qquad(2)$

Lisätään ja vähennetään termi $f(x)+g(x+\Delta x) \,\!$ yhtälöön $\qquad(2)$ ja järjestetään termit uudelleen:

$h'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)+(f(x)+g(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)) - f(x)g(x) \over \Delta x }$

$= \left(\lim_{\Delta x\to 0} {f(x+\Delta x) - f(x) \over \Delta x}\right)\left(\lim_{\Delta x\to 0}g(x+w)\right) + \left(f(x)\right) \left(\lim_{w\to 0} {g(x+\Delta x) - g(x) \over \Delta x} \right). \qquad\qquad(3)$

Derivaatan määritelmän perusteella

$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x }$

ja

$g'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x }$ .

Sen lisäksi nyt pätee

$\lim_{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)= g(x)$ ,

jolloin yhtälöstä $\qquad(3)$ saadaan

$h'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \,\!$ .

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Derivoidaan ƒ(x) = x² sin(x). Koska x²:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x).

Yleistyksiä

Useamman kuin kahden funktion tulo

Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on

$(u\cdot v\cdot w)'=u'\cdot v\cdot w+u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'$

Korkeamman asteen derivaatat

Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle:

$(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).$

Katso myös binomilause and binomikerroin.