Binomilause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Alkeisalgebrassa binomilause kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)n summaksi, jossa termit ovat muotoa axbyc, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on x tai y jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:

Pascalin kolmion viisi ensimmäistä riviä. Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.
(x+y)^1 = x + y
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5

Kerroin a termissä xbyc tunnetaan binomikertoimena \tbinom nb tai \tbinom nc (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta

{n \choose b} = \frac{n!}{b! \cdot (n-b)!}

missä b! tarkoittaa luvun b kertomaa.

Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa \tbinom nb osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa n alkion joukolla on.

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia. Al-Karaji antoi myöskin matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota.

Lauseen väite[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (x + y):n summaksi, joka on muotoa


(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,


missä jokainen  \tbinom nk on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös binomikaavaan tai binomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa


(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k =  \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.


Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen x :n ja y :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pascalin kolmio

Tavallisin esimerkki binomilauseesta on x + y:n neliö:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!

Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet x + y:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :


\begin{align}
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}

Huomaa, että

  1. x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n ( n potenssissa (x+y)^n.)
  2. y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on n (myöskin n potenssissa(x+y)^n.)
  3. Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.)

Todistuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kombinatorinen todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

xy2n kerroin

\begin{align}
(x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\
&= xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy \\
&= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3.
\end{align} \,

on \tbinom{3}{2}=3 koska on kolme kolmen kirjaimen pituista x,y jonoa, joissa on tarkallen kaksi y'tä, nimittäin,

xyy, \; yxy, \; yyx,

vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin,

\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},

missä jokaisessa osajoukossa eritellään yn paikka vastaavassa jonossa.


Yleinen tapaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun kehitetään auki (x + y)n niin se tuottaa 2 n tulojen summaa, jotka ovat muotoa e1e2 ... e n missä jokainen e i on x tai  y. Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa xnkyk k: n arvoilla 0:sta n:ään. Kun k tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:

  • alkioiden lukumäärä xn − kyk :n alkioiden kehitelmässä
  • n-alkioisten jonojen lukumäärä x:ää ja y:tä, joissa y on tarkalleen k kertaa
  • k-alkioisten osajoukkojan lukumäärä joukosta { 1, 2, ..., n}
  • {n \choose k}

Tämä todistaa binomilauseen.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]