Binomilause

Alkeisalgebrassa binomilause kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)ⁿ summaksi, jossa termit ovat muotoa ax^by^c, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on x tai y jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:

Pascalin kolmion viisi ensimmäistä riviä. Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.

$(x+y)^1 = x + y$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$

Kerroin a termissä x^by^c tunnetaan binomikertoimena $\tbinom nb$ tai $\tbinom nc$ (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta

${n \choose b} = \frac{n!}{b! \cdot (n-b)!}$

missä b! tarkoittaa luvun b kertomaa.

Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa $\tbinom nb$ osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa n alkion joukolla on.

Historiaa

Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia. Al-Karaji antoi myöskin matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota.

Lauseen väite

Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (x + y):n summaksi, joka on muotoa

$(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,$

missä jokainen $\tbinom nk$ on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös binomikaavaan tai binomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$

Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen x :n ja y :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.

Esimerkkejä

Pascalin kolmio

Tavallisin esimerkki binomilauseesta on x + y:n neliö:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!$

Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet x + y:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :

$\begin{align} (x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt] (x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt] (x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt] (x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt] (x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7. \end{align}$

Huomaa, että

1. x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n ( n potenssissa $(x+y)^n.)$
2. y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on n (myöskin n potenssissa$(x+y)^n.)$
3. Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.)

Todistuksia

Kombinatorinen todistus

Esimerkki

xy²n kerroin

$\begin{align} (x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\ &= xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy \\ &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3. \end{align} \,$

on $\tbinom{3}{2}=3$ koska on kolme kolmen kirjaimen pituista x,y jonoa, joissa on tarkallen kaksi y'tä, nimittäin,

$xyy, \; yxy, \; yyx,$

vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin,

$\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},$

missä jokaisessa osajoukossa eritellään yn paikka vastaavassa jonossa.

Yleinen tapaus

Kun kehitetään auki (x + y)ⁿ niin se tuottaa 2 ⁿ tulojen summaa, jotka ovat muotoa e₁e₂ ... e _n missä jokainen e _i on x tai  y. Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa x^n−ky^k k: n arvoilla 0:sta n:ään. Kun k tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:

• alkioiden lukumäärä x^n − ky^k :n alkioiden kehitelmässä
• n-alkioisten jonojen lukumäärä x:ää ja y:tä, joissa y on tarkalleen k kertaa
• k-alkioisten osajoukkojan lukumäärä joukosta { 1, 2, ..., n}
• ${n \choose k}$

Tämä todistaa binomilauseen.

Lähteet

• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Binomial Theorem Introduction