Hyperbolinen funktio

Hyperbolisten funktioiden kuvaajat

Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.

Määritelmät

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

$\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right)$

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

$\cosh x = \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)$

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\left( e^x - e^{-x} \right)}{\left( e^x + e^{-x} \right)}$

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

$\coth t = \frac{1}{\tanh t} = \frac{\cosh t}{\sinh t}$

$\operatorname{sech}\,t = \frac{1}{\cosh t}$

$\operatorname{csch}\,t = \frac{1}{\sinh t}$

Muunnoskaavoja

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

$\sinh \left( -x \right) = -\sinh x$

$\cosh \left(-x\right) = \cosh x$

$\cosh^2(x) - \sinh^2 (x) = 1\,$

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x² + y² = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

$x = \cos t$

$y = \sin t$,

voidaan yksikköhyperbelin (x² - y² = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa

$x = \cosh t$

$y = \sinh t$.

Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

Derivaatat

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

$\frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,$

$\frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,$

Hyperbolisen tangentin derivaatta on

$\frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = 1/\cosh^2(x) \,$

Funktiot kompleksialueessa

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

$e^{i x} = \cos x + i \;\sin x$

$e^{-i x} = \cos x - i \;\sin x$

saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:

$\cosh ix = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2} = \cos x$

$\sinh ix = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i \sin x$

$\tanh ix = i \tan x \,$

$\cosh x = \cos ix \,$

$\sinh x = -i \sin ix \,$

$\tanh x = -i \tan ix \,$

Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on $2 \pi i$, hyperbolisen tangentin $\pi i$.

Aiheesta muualla

• GonioLab: Havainnollistamaittu trigometria