Hyperbolinen funktio
Wikipedia
Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.
Sisällysluettelo |
[muokkaa] Määritelmät
Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:
Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:
Näiden suhde on hyperbolinen tangentti
Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

- sech t =

- cosech t =

[muokkaa] Muunnoskaavoja
Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:
Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.
[muokkaa] Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli
Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x2 + y2 = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:
- x = cost
- y = sint,
voidaan yksikköhyperbelin (x2 + y2 = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa
- x = cosht
- y = sinht.
Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.
Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.
[muokkaa] Derivaatat
Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:
Hyperbolisen tangentin derivaatta on
[muokkaa] Funktiot kompleksialueessa
Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:
saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:
Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on 2πi, hyperbolisen tangentin πi.
[muokkaa] Aiheesta muualla
- GonioLab: Havainnollistamaittu trigometria


















