Ketjukäyrä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Ketjukäyriä parametrin a eri arvoilla
Roikkuva ketju asettuu ketjukäyrän muotoiseksi.

Ketjukäyrä (ketjuviiva, köysiviiva, lat. catenaria, engl. catenary) eli katenaari on hyperbolisen kosinin kuvaaja. Nimensä käyrä on saanut siitä, että kahden tukipisteen varaan ripustettu taipuisa ketju (lat. catena) tai köysi asettuu tämän käyrän muotoiseksi.[1]

Yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ketjukäyrän yhtälö on

y = a \, \cosh \left ({x \over a} \right ) = {a \over 2} \, \left (e^{x/a} + e^{-x/a} \right ),

missä \cosh merkitsee hyperbolista kosinia.[1] Käyrä leikkaa y-akselin pisteessä (0,a), jossa funktiolla on minini tai maksimi riippuen siitä, onko a positiivinen vai negatiivinen.

Yleisemmässä tapauksessa, jossa käyrän maksimi- tai minimikohta ei välttämättä sijaitse y-akselilla vaan mielivaltaisessa pisteessä (\alpha, a + \beta), yhtälö voidaan esittää muodossa

y = a \cosh \frac{x-\alpha}{a} + \beta = {a \over 2}   (e^{(x-\alpha)/a} + e^{-(x-\alpha)/a}) + \beta .

Kun ketjukäyrä esittää ketjun tai köyden muotoa, parametrien a, \alpha ja \beta arvot määräytyvät tietyistä reunaehdoista, joita tavallisimmin asettavat ketjun tai köyden pituus sekä sen kiinnityspisteiden sijainnit.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska hyperbolinen kosini on parillinen funktio, ketjukäyrä sen kuvaajana on symmetrinen y-akselin suhteen.

Ketjukäyrä muistuttaa muodoltaan paraabelia, erityisesti y-akselin läheisyydessä.[2] Tämä johtuu siitä, että hyperbolisella kosinilla on Taylorin sarjakehitelmä:

\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}[3]

Kun x on pieni, sarjakehitelmän muut paitsi kaksi ensimmäistä termiä ovat erittäin pieniä ja käyrän yhtälö voidaan pyöristää muotoon

y = 1 + \frac {x^2} {2}

tai yleisemmässä tapauksessa

y = a + \frac {x^2} {2 a},

minkä yhtälön kuvaaja on paraabeli. Kun x on arvoltaan kaukana nollasta, ketjukäyrä nousee kuitenkin huomattavasti nopeammin kuin tämä paraabeli.

Kaaren pituus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ketjukäyrän kaaren pituus y-akselilta pisteeseen (x, a cosh (x/a)) on

s = a \, \sinh \left({x \over a} \right),

missä funktio sinh on hyperbolinen sini.[1]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Catenary MathWorld. Viitattu 12.9.2011.
  2. The Catenary (pdf) Viitattu 12.9.2011.
  3. Hyperbolic Cosine MathWorld. Viitattu 12.9.2011.


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.