Paraabeli

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ylöspäin aukeava paraabeli

Paraabeli (kreikasta: παραβολή) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista.

Sisällysluettelo

1 Geometrinen määritelmä ja nimityksiä
2 Paraabeli analyyttisessä geometriassa
3 Paraabeli funktion kuvaajana
4 Paraabelien akrobatiaa
5 Lähteet

[muokkaa] Geometrinen määritelmä ja nimityksiä

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.^[1]

[muokkaa] Paraabeli analyyttisessä geometriassa

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa $y = a x 2 + b x + c$ . Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos $a > 0$ , aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas $a < 0$ , aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin $y = a x 2 + b x + c$ huippu on kohdalla $x = - \tfrac{b}{2a}$ .

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö $x = a y 2 + b y + c$ . Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.^[1]

[muokkaa] Paraabeli funktion kuvaajana

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on $f (x) = x 2$ . Paraabelin kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion $a x 2 + b x + c$ parametrit a, b ja c. Parametri a vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. A määrittää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella a:lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella a:lla varustetun alaspäin. Parametri b vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa. Mielenkiintoista myös on, että funktion $a x 2 + b x + c$ kuvaajan huippupiste siirtyy b:tä vaihdellessa funktion $-ax^2+{2ac-b^2 \over 2a}$ kuvaajaa pitkin (väite jätetään tässä todistamatta)

[muokkaa] Paraabelien akrobatiaa

Jos muotoa $a x 2 + b x + c$ oleva paraabeli olisi kiinni vain huippupisteestään ja tämä paraabeli käännettäisiin ylösalaisin saataisiin muotoa $-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}$ oleva paraabeli. Muotoa $2 x 2 + x + 1$ olevan paraabelin "käännetty" paraabeli on siis $- 2 x 2 - x + 0.75$ . Tähän tulokseen voidaan päätyä seuraavasti. Ensinnäkin muutamme parametrien a ja b merkit alkuperäisten vastaluvuiksi. $a x 2 + b x$ :sta tulee $- a x 2 - b x$ . Voimme tarkistaa, ovatko paraabelien x-koordinaatit samat käyttämällä huippupisteen x-koordinaatin kaavaa ${-b \over 2a}$ . Saamme siis yhtälön

${-b \over 2a} = {b \over -2a}$

joka on tietenkin tosi (ei ole väliä onko miinus osoittajassa vai nimittäjässä, kunhan niitä on vain yhteensä sama määrä). Enää täytyy määritellä mitä tulee c:n paikalle käännetyn funktion kaavassamme. Kun kerran x-koordinaatit ovat samat, on enää kyse huippupisteen y-koordinaatista johon c vaikuttaa. Jos vähennämme alkuperäisen funktion $a x 2 + b x + c$ huippupisteen y-koordinaatista uuden keskeneräisen funktiomme $- a x 2 - b x$ huippupisteen y-koordinaatin, saamme c:n määritelmän käännettyyn funktioomme. Aluksi kuitenkin täytyy määrittää yleinen kaava huippupisteen y-koordinaatille, joka helposti saadaan sijoittamalla jo tiedetty x-koordinaatin määritelmä yleiseen paraabelifunktion muotoon. Saamme siis uuden funktion

`

$a({-b \over 2a})^2+b({-b \over 2a})+c$

`

${ab^2 \over 4a^2}+{-b^2 \over 2a}+{4ac \over 4a}$

`

${b^2 \over 4a}+{-2b^2 \over 4a}+{4ac \over 4a}$

`

${4ac-b^2 \over 4a}$

josta saamme sievennettyä melko vaivattomasti yleisen kaavan huippupisteen y-koordinaatille. Nyt voimme tehdä y-koordinaattien vähennyksen saaden seuraavanlaisen asetelman.

${4ac-b^2 \over 4a}+{-b^2 \over 4a}$ (käännetyssä funktiossa y-koord. on b^2/4a sillä c=0 ja merkit erit)

`

${4ac-2b^2 \over 4a}$

`

${2ac-b^2 \over 2a}$

`

Siinä se on, viimeinen tiilenpalanen rakennelmassamme. Nyt yhdistetään, ja saadaan tavoiteltu paraabelin "kääntämisen" kaava.

`

$-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}$

[muokkaa] Lähteet

↑ ^1,0 ^1,1 Jäppinen, Paavo; Kupiainen, Alpo; Räsänen, Matti: Lukion Calculus 2. Otava, 2004. ISBN 951-1-19611-1.

2. (Paraabelien akrobatiaa) → Felix Sjöblomin tutkimustulokset (ei julkaistuja)

[calculus2-0] 1,0 ^1,1 Jäppinen, Paavo; Kupiainen, Alpo; Räsänen, Matti: Lukion Calculus 2. Otava, 2004. ISBN 951-1-19611-1.

[1]

Paraabeli

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] Geometrinen määritelmä ja nimityksiä

[muokkaa] Paraabeli analyyttisessä geometriassa

[muokkaa] Paraabeli funktion kuvaajana

[muokkaa] Paraabelien akrobatiaa

[muokkaa] Lähteet

Näkymät

Henkilökohtaiset työkalut

Haku

Valikko

Osallistuminen

Työkalut

Muilla kielillä