Paraabeli

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Ylöspäin aukeava paraabeli.

Paraabeli (kreik. παραβολή, paravolí) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli.

Geometrinen määritelmä ja nimityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteiden etäisyydet ovat yhtä suuria polttopisteeseen F ja johtosuoralle l.
Paraabeli on eräs kartioleikkauksista.

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.[1]

Paraabeli analyyttisessä geometriassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pystysuora symmetria-akseli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa y = ax^2 + bx + c. Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos a > 0, aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas a < 0, aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin y = ax^2 + bx + c huippupisteen x-koordinaatti on

\displaystyle x = - \frac{b}{2a}.

Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio f(x) = ax^2 + bx + c ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on

\displaystyle y = a\left(- \frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot\left(- \frac{b}{2a}\right) +c=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{4ac-b^2}{4a}.

Vaakasuora symmetria-akseli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö x = ay^2 + by + c. Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.[1]

Yleinen paraabeli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on F(u,v) ja jonka johtosuora on muotoa ax+by+c=0, pätee yhtälö

\frac{\left(ax+by+c\right)^2}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\left(x-u\right)^2+\left(y-v\right)^2. \,

Paraabeli funktion kuvaajana[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on f(x)=x^2. Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion f(x)=ax^2+bx+c parametrit a,b ja c.

Parametri a vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin a arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella a:lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella a:lla varustetun alaspäin.

Parametri b vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion f(x)=ax^2+bx+c kuvaajan huippupiste siirtyy b:n vaihdellessa funktion g(x)=-ax^2+c kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin y=ax^2+bx+c huippupisteen koordinaatit x=-\frac{b}{2a} ja y=\frac{4ac-b^2}{4a} toteuttavat yhtälön

y=\frac{4ac-b^2}{4a} =-\frac{b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}=-a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+c=-ax^2+c,

ja ovat siis funktion g(x)=-ax^2+c kuvaajalla.

Pisteen kautta kulkeva tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan paraabelia y = f(x) = ax^2 + bx + c, missä a\not= 0.

Pisteen (x_0,y_0) kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä


\begin{cases}
x_i = x_0\pm\sqrt{\frac{f(x_0)-y_0}{a}}\\ 
y_i = f(x_i)
\end{cases}

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos y_0=f(x_0), ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

y = f'(x_0)(x-x_0)+y_0

Kun yo. yhtälön juurrettava \frac{f(x_0)-y_0}{a} > 0 saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.

Kun (x_i,y_i), missä x_i\not= x_0, on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä


y = \frac{y_i-y_0}{x_i-x_0}(x-x_0) + y_0



Paraabelien akrobatiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan paraabelin y=a x^2+b x+c, missä a\neq 0, peilaamista huippupisteen (-\frac{b}{2a},\frac{4a c -b^2}{4a}) kautta kulkevan tangenttinsa suhteen. Olemme siis kiinnostuneita "kääntämään paraabelin ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:

(1) Peilataan paraabeli ensin y-akselin suhteen. Tämä vaihtaa y-koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin y=-ax^2-bx-c, jonka huippu on pisteessä (-\frac{b}{2a},-\frac{4ac -b^2}{4a}).

(2) Siirretään näin saatua paraabelia y=-ax^2-bx-c pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan 2\cdot\frac{4ac -b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{2a}. Tämä on selvää, koska huippupisteen x-koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta y-koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin

y=-ax^2-bx-c+\frac{4ac-b^2}{2a}

eli

y=-ax^2-bx+\frac{2ac -b^2}{2a}.

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä (\frac{b}{2(-a)},\frac{4(-a)\cdot \frac{2ac-b^2}{2a}-(-b)^2}{4(-a)})=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) , siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin y=-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}.

Esimerkki. Paraabelin y=2x^2+x+1 peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis y=-2x^2-x+0,75.

Paraabelin y=ax^2+bx+c "kääntämisen" kaava on siis: y=-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Jäppinen, Paavo; Kupiainen, Alpo; Räsänen, Matti: Lukion Calculus 2. Otava, 2004. ISBN 951-1-19611-1.