Paraabeli

Ylöspäin aukeava paraabeli

Paraabeli (kreikasta: παραβολή) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli.

Geometrinen määritelmä ja nimityksiä

Pisteiden etäisyydet ovat yhtä suuria polttopisteeseen $F$ ja johtosuoralle $l$

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.

Paraabeli analyyttisessä geometriassa

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa $y = ax^2 + bx + c$. Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos $a > 0$, aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas $a < 0$, aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin $y = ax^2 + bx + c$ huippu saavutetaan kohdassa

$\displaystyle x = - \frac{b}{2a}$

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö $x = ay^2 + by + c$. Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.

Paraabeli funktion kuvaajana

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on $f(x)=x^2$. Paraabelin kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion $ax^2+bx+c$ parametrit a, b ja c. Parametri a vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. A määrittää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella a:lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella a:lla varustetun alaspäin. Parametri b vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa. Mielenkiintoista^{kenen mukaan?} myös on, että funktion $ax^2+bx+c$ kuvaajan huippupiste siirtyy b:tä vaihdellessa funktion $-ax^2+{2ac-b^2 \over 2a}$ kuvaajaa pitkin.

Pisteen kautta kulkeva tangentti

Tarkastellaan paraabelia $y = f(x) = ax^2 + bx + c$, missä $a\not= 0$.

Pisteen $(x_0,y_0)$ kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä

$\begin{cases} x_i = x_0\pm\sqrt{\frac{f(x_0)-y_0}{a}}\\ y_i = f(x_i) \end{cases}$

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos $y_0=f(x_0)$, ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

$y = f'(x_0)(x-x_0)+y_0$

Kun yo. yhtälön juurrettava $\frac{f(x_0)-y_0}{a} > 0$ saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.

Kun $(x_i,y_i)$, missä $x_i\not= x_0$, on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä

$y = \frac{y_i-y_0}{x_i-x_0}(x-x_0) + y_0$

Paraabelien akrobatiaa

Jos muotoa $ax^2+bx+c$ oleva paraabeli olisi kiinni vain huippupisteestään ja tämä paraabeli käännettäisiin ylösalaisin, saataisiin muotoa $-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}$ oleva paraabeli. Muotoa $2x^2+x+1$ olevan paraabelin "käännetty" paraabeli on siis $-2x^2-x+0,75$. Tähän tulokseen voidaan päätyä seuraavasti. Ensinnäkin muutamme parametrien a ja b merkit alkuperäisten vastaluvuiksi. $ax^2+bx$:sta tulee $-ax^2-bx$. Voimme tarkistaa, ovatko paraabelien x-koordinaatit samat käyttämällä huippupisteen x-koordinaatin kaavaa ${-b \over 2a}$. Saamme siis yhtälön

${-b \over 2a} = {b \over -2a}$

,joka on tietenkin tosi (ei ole väliä onko miinus osoittajassa vai nimittäjässä, kunhan niitä on vain yhteensä sama määrä). Enää täytyy määritellä mitä tulee c:n paikalle käännetyn funktion kaavassamme. Kun kerran x-koordinaatit ovat samat, on enää kyse huippupisteen y-koordinaatista johon c vaikuttaa. Jos vähennämme alkuperäisen funktion $ax^2+bx+c$ huippupisteen y-koordinaatista uuden keskeneräisen funktiomme $-ax^2-bx$ huippupisteen y-koordinaatin, saamme c:n määritelmän käännettyyn funktioomme. Aluksi kuitenkin täytyy määrittää yleinen kaava huippupisteen y-koordinaatille, joka helposti saadaan sijoittamalla jo tiedetty x-koordinaatin määritelmä yleiseen paraabelifunktion muotoon. Saadaan:

$\begin{align} & a \left( \frac{-b}{2a} \right)^2 + b \left( \frac{-b}{2a} \right) + c \\ =& \frac{ab^2}{4a^2} + \frac{-b^2}{2a} + \frac{4ac}{4a} \\ =& \frac{b^2}{4a} + \frac{-2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} \\ =& \frac{4ac-b^2}{4a} \end{align}$

,josta saamme sievennettyä melko vaivattomasti yleisen kaavan huippupisteen y-koordinaatille. Nyt voimme tehdä y-koordinaattien vähennyksen saaden seuraavanlaisen asetelman.

${4ac-b^2 \over 4a}+{-b^2 \over 4a}$ (käännetyssä funktiossa y-koord. on b^2/4a sillä c=0 ja merkit erit)

${4ac-2b^2 \over 4a}$

${2ac-b^2 \over 2a}$

Siinä se on, viimeinen tiilenpalanen rakennelmassamme. Nyt yhdistetään, ja saadaan tavoiteltu paraabelin "kääntämisen" kaava.

$-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}$