Osamäärän derivoimissääntö

Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.

Lauseen muotoilu

Olkoon funktio $f: A \to \mathbb{R}$ esitettävissä funktioiden $g$ ja $h$ osamääränä $f\left(x\right) = \frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$. Olkoot lisäksi funktiot $g$ ja $h$ derivoituvia pisteessä $a \in A$ ja $h\left(x\right) \neq 0$. Tällöin $f'\left(a\right) = \frac{g'\left(a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h'\left(a\right)}{h\left(a\right)^2}$.

Todistus

Derivaatan määritelmän mukaan

$f'\left(a\right) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f\left(a+\Delta a\right) - f\left(a\right)}{\Delta a}$

Sijoitetaan funktion $f$ tilalle osamäärä $g/h$

$= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)} - \frac{g\left(a\right)}{h\left(a\right)}}{\Delta a}$

Lavennetaan osamäärät samannimisiksi

$= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)} - \frac{g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}{\Delta a}$

Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään

$= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}$

Lisätään ja vähennetään termi $g\left(a\right)h\left(a\right)$

$= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right) + g\left(a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}$

Otetaan $h\left(a\right)$ ja $-g\left(a\right)$ yhteisiksi tekijöiksi

$= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \left(g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)\left(h\left(a+\Delta a\right) -h\left(a\right)\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}$

Supistetaan termillä $\Delta a$

$= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)}{\Delta a} h\left(a\right) - g\left(a\right) \frac{h\left(a+\Delta a\right) - h\left(a\right)}{\Delta a} }{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}$

Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)

$= \frac{ \lim_{\Delta a \to 0} \frac{g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)}{\Delta a} h\left(a\right) - g\left(a\right) \lim_{\Delta a \to 0} \frac{h\left(a+\Delta a\right) -h\left(a\right)}{\Delta a}}{ \lim_{\Delta a \to 0} h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}$

Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden $g$ ja $h$ erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja

$= \frac{ g'\left(a\right) h\left(a\right) - g\left(a\right) h'\left(a\right)}{ h\left(a\right)^2}$.

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Määritä funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f\left(x\right) = \frac{x^2 - 2}{2x^4 + 7}$ derivaatta pisteessä $x = 2$.

Funktio $f$ voidaan selvästi esittää kahden funktion, $g\left(x\right) = x^2 - 2$ ja $h\left(x\right) = 2x^4 + 7$ osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä $x = 2$ ja funktiolla $h$ ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.

Lasketaan ensin funktioiden $g$ ja $h$ derivaattafunktiot: $g'\left(x\right) = 2x$, $h'\left(x\right) = 8x^3$. Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:

$f'\left(2\right) = \frac{g'\left(2\right)h\left(2\right) - g\left(2\right)h'\left(2\right)}{h\left(2\right)^2}$

Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan

$f'\left(2\right) = \frac{\left(2 \cdot 2\right)\left(2 \cdot 2^4 + 7\right) - \left(2^2 - 2\right)\left(8 \cdot 2^3\right)}{\left(2 \cdot 2^4 + 7\right)^2} = \frac{28}{1521}.$

Esimerkki 2

Määritä funktion $f\left(x\right) = \frac{\left|x\right|+1}{\left|x\right|+1}$ derivaatta pisteessä $x = 0$.

Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä $|x|+1$ ei ole derivoituva pisteessä $x = 0$, mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon $f\left(x\right) = 1$, jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.

Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.

Lähteet

Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.1 Syksy 1999. Viitattu 3.10.2011. (suomeksi)