Pyörähdyskappale

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Käyrän pyörähtäessä syntyvä pyörähdys­kappale ja sitä rajoittava pyörähdys­pinta
Monet astiat, myös esimerkiksi tavallinen Puna­viini­lasi, ovat muodoltaan pyörähdys­kappaleita

.

Pyörähdys­kappale on kolmi­ulotteinen kappale, jonka voidaan ajatella syntyvän jonkin käyrän rajoittaman tasoalueen pyörähtäessä avaruudessa jonkin kiinteän suoran, akselin ympäri.

Yksinkertaisimpia pyörähdys­kappaleita ovat lieriö ja kartio. Lieriö syntyy kahden suoran välisen alueen pyörähtäessä toisen suoran ympäri, kartio taas janan pyörähtäessä sen toisen pääte­pisteen kautta kulkevan suoran ympäri. Ympyrän pyörähtäessä halkaisijansa ympäri syntyy pyörähdyskappaleena pallo. Jos ympyrä pyörähtää kokonaan sen ulko­puolella olevan suoran ympäri, saadaan renkaan tai munkkirinkelin muotoinen, toruspinnan rajoittama kappale.[1] Ellipsin pyörähtäessä isoakselinsa ympäri syntyy pyörähdysellipsoidi.

Käytännössä pyörähdys­kappaleita ovat muodoltaan monet astiat sekä yleensä sorvin avulla valmistetut esineet.

Pyörähdyskappaleet ovat symmetrisiä kaikkien akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Niiden poikki­leikkaus akselia vastaan kohti­suorilla tasoilla on ympyrä.

Pyörähdyskappaleen rajapinta on pyörähdyspinta

Tilavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli pyörähtävää aluetta rajoittava käyrä voidaan esittää jonkin funktion kuvaajana, voidaan pyörähdys­kappaleen tilavuus määrittää integraalilaskennan avulla. Oletetaan, että f on välillä [a,b] jatkuva positiivinen funktio ja että pyörähtävää aluetta A rajoittavat käyrä y = f(x) sekä suorat y=0, x=a ja y=b. Tällöin alueen A pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy pyörähdys­kappale, johon kuuluvat pisteet (x,y,z) toteuttavat epäyhtälöt

a < x < b
x^2 + y^2 < f(x)^2

Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on[2]

\pi \int_a^b \! f(x)^2\,dx \,

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Ynge Lehtosaari, Jarkko Leino: Matematiikka 11, s. 199. Kirjayhtymä, 1974. ISBN 951-26-0078-1.
  2. Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, s. 280-281. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.