Ellipsoidi

Ellipsoidi, jolle a = 4, b = 2 ja c = 1.

Ellipsoidilla tarkoitetaan kappaletta, jonka poikkileikkaus missä tahansa tasossa on ellipsi.

Jos ellipsoidin keskipiste on pisteessä (0,0,0) eli origossa ja akselit ovat koordinaattiakselin suuntaiset, on ellipsoidin yhtälö xyz-koordinaatistossa

$\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} + \frac{z^2} {c^2} = 1\!$ , jossa $a,b,c\in\mathbb{R}$.

Luvut $a$, $b$ ja $c$ ovat ellipsoidin puoliakselien pituudet.

Ellipsoidin erikoistapaus pyörähdysellipsoidi syntyy, kun ellipsi pyörähtää jonkin akselinsa ympäri. Jos ellipsi pyörähtää esimerkiksi x-akselin ympäri, kappaleen poikkileikkaus tasossa yz on ympyrä, jonka säde $r = b = c$.

Tilavuus

Ellipsoidin tilavuus saadaan kaavalla

$V = \frac{4}{3}\pi abc.\,\!$

Pinta-ala

Ellipsoidin pinta-ala saadaan kaavalla

$A = 2 \pi \left( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(O\!\!E,m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(O\!\!E,m) \right),\,\!$

jossa $m=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}\,\!$ ja $F(O\!\!E,m)\,\!$, $E(O\!\!E,m)\,\!$ ovat ensimmäisen ja toisen asteen epätäydellisiä elliptisiä integraaleja.

Likimääräinen arvo saadaan kaavalla:

$A \approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{1/p}.\,\!$

missä arvolla $p = 1,6075$ saadaan suhteellinen virhe, joka on korkeintaan 1,061% (Knud Thomsenin kaava); arvo p = 8/5 = 1,6 on optimaalinen lähes pallomaisille ellipsoideille, suhteellinen virhe on tällöin korkeintaan 1,178% (David W. Cantrellin kaava).