Ellipsoidi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Ellipsoidi, jolle a = 4, b = 2 ja c = 1.
Gnuplot ellipsoid.svg

Ellipsoidilla tarkoitetaan kappaletta, jonka poikkileikkaus missä tahansa tasossa on ellipsi.

Jos ellipsoidin keskipiste on pisteessä (0,0,0) eli origossa ja akselit ovat koordinaattiakselin suuntaiset, on ellipsoidin yhtälö xyz-koordinaatistossa

\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} + \frac{z^2} {c^2} = 1\! , jossa a,b,c\in\mathbb{R}.

Luvut a, b ja c ovat ellipsoidin puoliakselien pituudet.

Ellipsoidin erikoistapaus pyörähdysellipsoidi syntyy, kun ellipsi pyörähtää jonkin akselinsa ympäri. Jos ellipsi pyörähtää esimerkiksi x-akselin ympäri, kappaleen poikkileikkaus tasossa yz on ympyrä, jonka säde r = b = c.

Tilavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ellipsoidin tilavuus saadaan kaavalla

V = \frac{4}{3}\pi abc.\,\!

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ellipsoidin pinta-ala saadaan kaavalla

A = 2 \pi \left( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(O\!\!E,m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(O\!\!E,m) \right),\,\!

jossa m=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}\,\! ja F(O\!\!E,m)\,\!, E(O\!\!E,m)\,\! ovat ensimmäisen ja toisen asteen epätäydellisiä elliptisiä integraaleja.

Likimääräinen arvo saadaan kaavalla:

A \approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{1/p}.\,\!

missä arvolla p = 1,6075 saadaan suhteellinen virhe, joka on korkeintaan 1,061% (Knud Thomsenin kaava); arvo p = 8/5 = 1,6 on optimaalinen lähes pallomaisille ellipsoideille, suhteellinen virhe on tällöin korkeintaan 1,178% (David W. Cantrellin kaava).

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.