Pisteen potenssi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Pisteen potenssi, kun piste P sijaitsee ympyrän ulkopuolella, kehällä tai sisäpuolella.
Pisteen P potenssi sijaitsee ympyrän sisällä. Pisteen potenssin arvo on molemmissa tapauksissa (AB tai CD) sama, vaikka jänne olisi eri asennossa.

Pisteen potenssi on tasogeometriassa ympyräään ja sen sekanntin tai jänteen pisteeseen liittyvä suure, joka kuvaa pisteen sijaintia suhteessa ympyrään ympyrän keskipisteeseen. Pisteestä piirretään ympyrää sivuava tai sen kehän kahdesti leikkaava suora. Pisteestä kummallekin kehäpisteelle mitataan janojen pituudet, joiden tulo voidaan todistaa olevan vakio valitun sekantin suunnasta riippumatta.[1]

Piste P voi sijaita ympyrän suhteen missä vain. Kun piste sijaitsee ympyrän sisällä, jakaa se ympyrän sekantin kahteen osaan. Kun se sijaitsee ympyrän ulkopuolella, erottaa ympyrän kehä pisteen kautta kulkevasta suorasta mainitun sekantin. Pisteen potenssin lauseketta varten merkitään pistettä kirjaimella P ja sekantin kehäpisteitä A ja B. Pisteen P potenssi p(P) lasketaan

p(P) = PA \cdot PB.

Pisteen potenssin arvo on positiivinen p(P)>0, kun piste sijaitsee ympyrän ulkopuolella. Jos se sijaitsee ympyrän kehällä, on pisteen potenssi p(P)=0. Kun piste on ympyrän sisällä, on p(P)<0 eli negatiivinen. Janat ovat silloin suunnattuja janoja ja niiden pituus voi olla myös negatiivinen. Jos pisteen potenssit lasketaan positiivisilla janan pituuksilla, saadaan pisteen potensiksi aina p(P)\ge 0.[2]

Pisteen potenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen P potenssi. Lause pätee, vaikka P olisi ympyrän sisäpuolella.

Pisteen potenssi on kullekin pisteelle aina sama riippumatta sekantin suunnasta. Tämä johtuu kehäkulmalauseesta. Jos merkitään kaksi linjaa, joiden pisteet ovat P, B ja A sekä P, D ja C, saadaan molempien linjojen pisteen potenssiksi sama arvo

p=PA \cdot PB = PC \cdot PD.

Tämä todistetaan yhdistämällä kehäpisteet janoilla DA ja BC. Kulmat ovat kaarta BD vastaisina kehäkulmina yhtäsuuret. Silloin kolmiot ovat yhdenmuotoiset \Delta PDA \sim \Delta PBC ja vastinsivuille pitää paikkaansa verrannot

\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \Leftrightarrow PA \cdot PB = PC \cdot PD,

josta lause seuraakin.

Sama pätee myös ympyrän sisäpuolisille pisteelle ja kehäpisteelle.[1][2][3][4][5]

Joskus pisteen potenssi määritetään positiiviseksi tästä huolimatta ja sillä ei tehdä eroa, onko piste ympyrän sisä- vai ulkopuolella.[2]

Lauseen korollaarit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun ulkopuolisen pisteen P sekantti piirretään lähelle ympyrän kehän sivua, voidaan huomata, leikkauspisteiden lähestyvän toisiaan. Sekantin muuttuessa tangentiksi, sivuamispisteet sulautuvat toisiinsa.

Edellä selostettu tilanne syntyy, kun piste P sijaitsee ympyrän ulkopuolella. Janat, joita vertailtiin, olivat osia sekanteistä. Lauseen tätä korollaaria eli lauseen seurausta voisi siksi kutsua sekantti-sekantti-lauseeksi (todistus [2]). Kun piste sijaitsee ympyrän sisällä, ovat janat ympyrän jänteitä ja lauseen korollaaria voisi kutsua jänne-jänne-lauseeksi (todistus [2]). Viimeisn tapaus syntyy, jos ympyrän ulkopuolelta toinen sekantti ja toinen tangentti, jolloin tätä korollaaria voisi kutsua sekantti-tangenti-lauseeksi. Kukin korollaari on todistettavissa vain hieman eri tavalla.

Viimeiseksi mainitussa tilanteessa tangentilla on vain yksi leikkauspiste kahden sijasta. Tangentti on selvästi rajatapaus sekantista, joka on siirtynyt lähelle kehän "äärilaitaa". Mitä lähemmäksi sekantin leikkauspisteet tulevat toisiaan, sen lähemmäksi ne tulevat tangentin sivuamispistettä. Voidaan ajatella, että sekantin kaksi pistettä olisivat "sulautuneet" toisiinsa tangenttipisteeksi C. Pisteen potenssi voidaan silloin kirjoittaa

p(P)= PC \cdot PC = PC^2,

missä C on tangentin sivuamispiste. Tämän perusteella voidaan ajatella, että PC on sekanttien PA ja PB keskiverto eli geometrinen keskiarvo. Tämä vastaa pisteen potenssin neliöjuurta (todistus [3]).

Pisteen potenssi funktiona[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen potenssi on pisteen etäisyyden funktio origosta.
Pisteen potenssin kuvaaja tapauksessa, jossa ympyrän säde on 1. Pinta muodostaa paraboloidin.

Antiikin Kreikassa ei pisteen potenssia tutkittu, sillä silloin funktiokäsitettä ei ollut vielä olemassa. Tuolloin ei myöskään käsitelty tarkemmin suunnattuja janoja, vaikka niitä käytettiin satunnaisesti hyväksi. Kun pisteen potenssia alettiin hyödyntää 1800-luvun geometriassa, otettiin sille käyttöön uusi funktiopohjainen määritelmä.[6]

Merkitään pisteen P etäisyyttä ympyrän keskipisteeseen O kirjaimella d ja ympyrän sädettä kirjaimella r. Kuten sekantti-tangentti-korollaarin lauseessa on, pisteen potenssi voi olla myös p(P)=PC^2. Ympyrällä säde ja tangentti muodostavat aina suoran kulman, jolloin kuvassa \Delta POT on suorakulmainen kolmio. Nyt pisteen potenssiksi saadaan Pythagoraan lauseen mukaisesti

p(P)=d^2-r^2.[5]

Pisteen potenssi on siten d:n funktio.

Koska r on vakio ja etäisyys d \ge 0, voi pisteen potenssi saada arvoja -r^2 \le p(P) < \infty . Pisteen potenssi on eräänlainen mitta pisteen etäisyydelle ympyrän keskipisteestä.[5]

Jos sijoitetaan r-säteinen ympyrä xy-koordinaatiston origoon, voidaan pisteen potenssi p(P)=p(x,y) kirjoittaa

p(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}^2-r^2 = x^2+y^2-r^2.

Kuvaajan muodostama pinta on paraboloidi.

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Antiikin kreikassa pisteen potenssin idea tunnettiin jo. Se sisältyi Euclideen oppikirjaan Alkeet, jossa sitä käytettiin janojen ja ympyröiden käsittelyssä. Kirjassa III, lause 35, esitetään todisteet lauseen pätevyydestä.[7][6]

Kun 1800-luvulla tutkittiin geometriaa voimakaasti, esitti sveitsiläinen Jacob Steiner vuonna 1826 useita pisteen potenssiin liittyviä teoreemoja. Itse nimityskin, saks. Potenz, on häneltä peräisin. [8][9]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Väisälä, KalleGeometria, s. 117-118. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 23.9.2013).
  2. a b c d e Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste (s. 135-137)) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 15.9.2013.
  3. a b Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita (ratkaisut nro 44 ja 45), s.11, 2011
  4. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) 2012. Turun yliopisto. Viitattu 25.09.2013.
  5. a b c Weisstein, Eric W.: Circle Power (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II, s. 242-244. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
  7. Joyce, D.E.: Euclid's Elements Book III, Proposition 35, 1996, Clark University
  8. Steiner, J. "Einige geometrische Betrachtungen." J. reine angew. Math. 1, 161-184, 1826
  9. O'Connor, J. J. ja Robertson, E. F.: Jakob Steiner, 2009, University of St Andrews, Skotlanti

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]