Pisteen potenssi

Pisteen P potenssi. Lause pätee, vaikka P olisi ympyrän sisäpuolella.

Pisteen potenssi on tasogeometriaan liittyvä suure, joka kuvaa pisteen sijaintia suhteessa ympyrään. Käsite perustuu geometriseen lauseeseen, pisteen potenssilauseeseen, jonka mukaan annetun tason pisteen kautta kulkevien suorien ja ympyrän leikkauspisteen väliset janat toteuttavat seuraavan ehdon: Olkoon annetussa tasossa piste P ja ympyrä C. Leikatkoon eräs P:n kautta kulkeva suora, ympyrän sekantti, C:n pisteissä A₁ ja B₁ sekä leikatkoon toinen P:n kautta kulkeva suora C:n pisteissä A₂ ja B₂. Tällöin pisteen P etäisyydet näistä leikkauspisteistä toteuttavat ehdon

|A₁P||B₁P|=|A₂P||B₂P|.

Etäisyyksien tulo annetusta pisteestä näiden suorien ja ympyrän leikkauspisteeseen on siis vakio eli se on riippumaton sekantin suunnasta.. Tätä vakiota kutsutaan pisteen P potenssiksi ympyrän C suhteen.

Erikoistapauksena on suora, joka kulkee pisteen P ja ympyrän keskipisteen O kautta. Jos merkitään ympyrän sädettä r:llä ja pisteen P etäisyyttä ympyrän keskipisteestä R:llä, on pisteen P potenssi yhtä kuin (R-r) · (R+r) = R² - r².

Pisteen potenssilla pystytään siten määrittämään jakosuhteita, missä janat leikkaavat ympyrää. Pisteen potenssilauseen todistaminen käy helposti yhdenmuotoisten kolmioiden avulla. Lisäksi tarvitaan tieto, että ympyrässä samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.