Hyperboloidi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Yksivaippainen hyperboloidi
Kaksivaippainen hyperboloidi
Asymptoottikartiohyperboloidi

Matematiikassa hyperboloidi on hyperbelin vastine kolmiulotteisessa avaruudessa. Hyperboloidin yhtälössä oikeapuoli määrittää, onko hyperboloidi yksivaippainen, kaksivaippainen vai asymptoottikartion mallinen. Jos yhtälön oikealla puolella on 1, kyseessä on yksivaippainen hyperboloidi; jos nolla, on hyperboloidi asymptoottikartio; jos -1, on kyseessä kaksivaippainen hyperboloidi. Hyperboloidin yhtälön vasemman puolen plus- ja miinusmerkit vaihtelevat sen mukaan, minkä suuntainen hyperboloidi on. Miinusmerkki on aina sen muuttujan edessä, jonka suuntainen hyperboloidi on. Jos hyperboloidi on x-akselin suuntainen, tulee miinusmerkki x-muuttujan eteen ja muille muuttujille positiivinen etumerkki jne.


Esimerkkejä hyperboloidin yhtälöstä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Näissä yhtälöissä a, b, c \in\mathbb{R} ja x, y, z ovat muuttujia.

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1  (Yksivaippainen z-akselin suuntainen hyberboloidi ),


{x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2}=-1  (Kaksivaippainen y-akselin suuntainen hyberboloidi )


 - {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2}=0   (Asymptoottikartionmallinen x-akselin suuntainen hyperboloidi)

Jos a=b, niin hyperboloidia voidaan kutsua pyörähdyshyperboloidiksi.

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Hyperboloidi.
Yksivaippainen hyperboloidi rakennettu suorista metallilangoista.

Hyperboloidin tasoleikkaukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperboloidin tasoleikkaukset ovat ellipsin, paraabelin tai hyperbelin muotoisia riippuen, mistä suunnasta hyperboloidia leikataan.

Hyperboloidin muodostaminen suorista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksivaippaista hyperboloidia ei voi muodostaa suorista sen kahden erillisen osan vuoksi.

Asymptoottikartiohyperboloidin voi muodostaa suorista. Se muodostuu joukosta suoria, jotka kulkevat sen keskipisteen eli kuvassa origon kautta.

Yksivaippaisen hyperboloidin voi myös muodostaa suorista. Näitä suoria kutsutaan hyperboloidin emäsuoriksi ja jokaisen hyperboloidin vaipan pisteen kautta kulkee kaksi eri emäsuorasarjoihin kuuluvaa emäsuoraa. Emäsuorasarjojen yhtälöt saadaan johdettua suoraan itse hyperboloidin yhtälöstä. Helpoiten tämä nähdään kertomalla esimerkiksi ensimmäisen emäsuorasarjan yhtälöt keskenään. Kun kyseessä on esimerkiksi y-akselin suuntainen hyperboloidi, toteuttavat sen emäsuorat seuraavat emäsuorasarjojen yhtälöt:

Emäsuorasarja 1

\left\{\begin{matrix}{y \over b} + {z \over c}= \lambda (1 - {x \over a}) \\ {y \over b} - {z \over c}= {1 \over \lambda}(1 + {x \over a}) \end{matrix}\right.


Emäsuorasarja 2


\left\{\begin{matrix}{y \over b} + {z \over c}= \mu (1 + {x \over a}) \\ {y \over b} - {z \over c}= {1 \over \mu}(1 + {x \over a}) \end{matrix}\right.


Näissä emäsuorasarjoissa λ ja μ ovat mielivaltaisia apumuuttujia. Jokaisen λ:n arvolle määrää ensimmäisen emäsuorasarjan yhtälöpari suoran, joka on hyperboloidin pinnalla; samoin jokaiselle μ:n arvolle määrää toisen emäsuorasarjan yhtälöpari suoran, joka on hyperboloidin pinnalla.






Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]