Neperin luku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Sinisellä funktio e^x. Punainen viiva esittää tangenttisuoraa e^x:lle pisteessä (0, 1), jolloin sen kulmakerroin on tasan yksi. Muotoa c^x olevista eksponenttifunktioista vain e^x omaa kyseisen ominaisuuden.

Neperin luku (Napierin luku) on matemaattinen vakio, jonka likiarvo viidentoista desimaalin tarkkuudella on 2,718 281 828 459 045 ja jolle on kiinnitetty merkintä e. Neperin luku on luonnollisen logaritmifunktion kantaluku. Se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Napier itse ei käyttänyt kantalukua e, mutta jälkeenpäin on huomattu, että hänen logaritmien laskujärjestelmänsä on liittynyt luonnolliseen logaritmiin. Neperin luku on irrationaalinen ja transsendenttinen. Transsendenttisuustodistuksen antoi Charles Hermite vuonna 1873.

Neperin luku on määritelmän mukaan e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Eksponenttifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neperin luvulla on tärkeä merkitys eksponenttifunktion e^x kantalukuna. Tällä funktiolla on se ominaisuus, että funktion derivaatta on sama kuin funktio itse.

Kun eksponenttifunktion c^x kantalukuna on positiivinen luku c, niin tällaisen funktion derivaatta on funktio itse kerrottuna vakiotekijällä. Jos tämä kantaluku c on Neperin luku, niin kyseisen vakiotekijän arvo on 1. Tämä voidaan osoittaa seuraavasti:

Olkoot f(x) = c^{x},\ c \in \mathbb{R}. Derivaatan määritelmän mukaan


\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac {f (x+h)-f(x)}{h}  \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{c^{x+h} - c^x}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac {c^x(c^h-1)}{h} \\
&= c^x \lim_{h \to 0} \frac{c^h - 1}{h}.
\end{align}

Näin huomataan, että kaikilla kantaluvun c arvoilla funktion c^x derivaatta on funktio itse kerrottuna lausekkeella

\lim_{h \to 0} \frac{c^h - 1}{h}.

Oletetaan sitten, että jollakin kantaluvun c arvolla e tämä raja-arvo on 1 eli

1 = \lim_{n \to 0+} \frac{e^n - 1}{n}.

Koska osamäärän raja-arvo = osoittajan raja-arvo jaettuna nimittäjän raja-arvolla, niin nimittäjän raja-arvolla kertomalla saadaan


\begin{align}
\lim_{n \to 0+} n &= \lim_{n \to 0+} e^n - 1 \\
\lim_{n \to 0+} e^n &= \lim_{n \to 0+} (1 + n) \\
e &= \lim_{n \to 0+} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} \\
e &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.
\end{align}

Siis luku e on sama kuin Neperin luku.

Vaihtoehtoisia esitysmuotoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion  f(x) = 1/x ja x -akselin rajoittama pinta-ala on tasan yksi välillä [1, e].

Neperin luvulle tunnetaan seuraava sarjakehitelmä:

e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \cdots

Koska kertoma {n!} kasvaa luvun n kasvaessa sangen nopeasti, voidaan tämän sarjan avulla melko nopeasti laskea hyviä Neperin luvun likiarvoja.

Luku e voidaan esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona:

 e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{\frac{1}{2}} \left ( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \right )^{\frac{1}{4}} \left ( \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \right )^{\frac{1}{8}} \cdots

e saadaan määrättynä integraalina funktiosta f(x) = x^{-1}:

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \  dx = 1

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuvitellaan, että pankki maksaa vuodessa 100 % koron. Jos pankkitilin alkusaldo on 1 €, niin vuoden kuluttua saldo on 1 €·2,0 = 2 €. Jos pankki maksaisikin 50 % koron kaksi kertaa vuodessa ja jälkimmäisellä kerralla korkoa korolle, olisi loppusaldo 1 €·1,52 = 2,25 € ja jos taas 33,3… % koron 3 kertaa vuodessa: 1 €·(1,333…)3 ≈ 2,370 €. Kun pankki maksaa 1/n-kertaisen koron n kertaa vuodessa, on loppusaldo 1 €·(1+1/n)n. Kun 1/n lähestyy nollaa eli maksukertojen määrä lähestyy ääretöntä, niin lähestyy termi (1+1/n)n e:tä. Samaan tapaan jos alkuperäinen korkoprosentti olisi x % ja maksukertojen lukumäärää vastaavalla tavalla tihennettäisiin, saataisiin raja-arvona loppusaldoksi ex/100.

Myös luonnossa esiintyy kasvuilmiöitä, jotka noudattavat samantapaista matemaattista lakia. Tällaista sanotaan eksponentiaaliseksi kasvuksi. Likimääräisenä esimerkkinä tällaisesta voidaan mainita puun kasvu.[1]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Iso tietosanakirja, 9. osa (Mustonen-Pielisjärvi), art. Neperin luku, Otava 1935

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Neperin luku.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.