Neperin luku

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun
Sinisellä funktio ex. Punainen viiva esittää tangenttisuoraa ex:lle pisteessä (0,1), jolloin sen kulmakerroin on tasan yksi. Muotoa cx olevista eksponenttifunktioista vain ex omaa kyseisen ominaisuuden.

Neperin luku on matemaattinen vakio, jonka likiarvo viidentoista desimaalin tarkkuudella on 2,718281828459045 ja jolle on kiinnitetty merkintä e. Neperin luku on luonnollisen logaritmifunktion kantaluku. Se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Napier itse ei käyttänyt kantalukua e, mutta jälkeenpäin on huomattu, että hänen logaritmien laskujärjestelmänsä on liittynyt luonnolliseen logaritmiin. Neperin luku on irrationaalinen ja transsendenttinen. Transsendenttisuustodistuksen antoi Charles Hermite vuonna 1873.

Neperin luku on määritelmän mukaan e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

Sisällysluettelo

[muokkaa] Esiintyvyys luonnossa

Kuvitellaan, että pankki maksaa vuodessa 100 % koron. Jos pankkitilin alkusaldo on 1 €, niin vuoden kuluttua saldo on 1 €×2,0 = 2 €. Jos pankki maksaisikin 50 % koron kaksi kertaa vuodessa olisi loppusaldo 1 €×1,52 = 2,25 € ja jos taas 33,3… % koron 3 kertaa vuodessa: 1 €×(1,333…)3 ≈ 2,370 €. Kun pankki maksaa n-kertaisen koron 1/n kertaa vuodessa, on loppusaldo 1 €×(1+n)1/n. Kun n lähestyy nollaa eli maksukertojen määrä lähestyy ääretöntä, niin lähestyy termi (1+n)1/n e:tä.

[muokkaa] Todistus

Tutkittaessa eksponenttifunktioiden derivaattoja havaitaan, että löytyy tapaus, jolloin cx = D(cx), kun c = e\,\!. Toisin sanoen neperin luku on siis määritelty niin, että funktio f(x) = c^x\,\! ja sen derivaatta ovat täsmälleen samoja kun c = e\,\!:

Olkoot f(x_0) = c^{x_0},\ c \in \mathbb{R}. Määritelmän mukaan:


\begin{align}
f(x_0) & = f'(x_0) \\
c^{x_0} & = \frac{d}{dx}(c^{x_0}) \\
c^{x_0} & = \lim_{x \to x_{0+}}\left(\frac{c^x - c^{x_0}}{x - x_0}\right) \\
c^{x_0} & = c^{x_0}\lim_{n \to 0+}\left(\frac{c^n - 1}{n}\right) \\
1 & = \lim_{n \to 0+} \frac{c^n - 1}{n} \\
\lim_{n \to 0+} n & = \lim_{n \to 0+} c^n - 1 \\
\lim_{n \to 0+} c^n & = \lim_{n \to 0+} 1 + n \\
c & = \lim_{n \to 0+} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n}
\end{align}

Määritetään vielä, että c = e.


\begin{align}
e & = \lim_{n \to 0+} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} \\
& = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
\end{align}

[muokkaa] Vaihtoehtoisia esitysmuotoja

Funktion f(x) = 1 / x ja x -akselin rajoittama pinta-ala on tasan yksi välillä [1,e].
e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \cdots

Luku e voidaan esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona:

 e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{\frac{1}{2}} \left ( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \right )^{\frac{1}{4}} \left ( \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \right )^{\frac{1}{8}} \cdots

e saadaan määrättynä integraalina funktiosta f(x) = x − 1:

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \  dx = 1

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

Henkilökohtaiset työkalut