Neperin luku

Sinisellä funktio $e^x$. Punainen viiva esittää tangenttisuoraa $e^x$:lle pisteessä $(0, 1)$, jolloin sen kulmakerroin on tasan yksi. Muotoa $c^x$ olevista eksponenttifunktioista vain $e^x$ omaa kyseisen ominaisuuden.

Neperin luku on matemaattinen vakio, jonka likiarvo viidentoista desimaalin tarkkuudella on $2{,}71828 18284 59045$ ja jolle on kiinnitetty merkintä $e$. Neperin luku on luonnollisen logaritmifunktion kantaluku. Se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Napier itse ei käyttänyt kantalukua $e$, mutta jälkeenpäin on huomattu, että hänen logaritmien laskujärjestelmänsä on liittynyt luonnolliseen logaritmiin. Neperin luku on irrationaalinen ja transsendenttinen. Transsendenttisuustodistuksen antoi Charles Hermite vuonna 1873.

Neperin luku on määritelmän mukaan $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Eksponenttifunktio

Neperin luvulla on tärkeä merkitys eksponenttifunktion $e^x$ kantalukuna. Tällä funktiolla on se ominaisuus, että funktion derivaatta on sama kuin funktio itse.

Kun eksponenttifunktion $c^x$ kantalukuna on positiivinen luku $c$, niin tällaisen funktion derivaatta on funktio itse kerrottuna vakiotekijällä. Jos tämä kantaluku $c$ on Neperin luku, niin kyseisen vakiotekijän arvo on $1$. Tämä voidaan osoittaa seuraavasti:

Olkoot $f(x) = c^{x},\ c \in \mathbb{R}$. Derivaatan määritelmän mukaan

$\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac {f (x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{c^{x+h} - c^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac {c^x(c^h-1)}{h} \\ &= c^x \lim_{h \to 0} \frac{c^h - 1}{h}. \end{align}$

Näin huomataan, että kaikilla kantaluvun $c$ arvoilla funktion $c^x$ derivaatta on funktio itse kerrottuna lausekkeella

$\lim_{h \to 0} \frac{c^h - 1}{h}$.

Oletetaan sitten, että jollakin kantaluvun $c$ arvolla $e$ tämä raja-arvo on 1 eli

$1 = \lim_{n \to 0+} \frac{e^n - 1}{n}.$

Koska osamäärän raja-arvo = osoittajan raja-arvo jaettuna nimittäjän raja-arvolla, niin nimittäjän raja-arvolla kertomalla saadaan

$\begin{align} \lim_{n \to 0+} n &= \lim_{n \to 0+} e^n - 1 \\ \lim_{n \to 0+} e^n &= \lim_{n \to 0+} (1 + n) \\ e &= \lim_{n \to 0+} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} \\ e &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \end{align}$

Siis luku $e$ on sama kuin Neperin luku.

Vaihtoehtoisia esitysmuotoja

Funktion $f(x) = 1/x$ ja x -akselin rajoittama pinta-ala on tasan yksi välillä $[1, e]$.

Neperin luvulle tunnetaan seuraava sarjakehitelmä:

$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \cdots$

Koska kertoma ${n!}$ kasvaa luvun n kasvaessa sangen nopeasti, voidaan tämän sarjan avulla melko nopeasti laskea hyviä Neperin luvun likiarvoja.

Luku $e$ voidaan esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona:

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{\frac{1}{2}} \left ( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \right )^{\frac{1}{4}} \left ( \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \right )^{\frac{1}{8}} \cdots$

$e$ saadaan määrättynä integraalina funktiosta $f(x) = x^{-1}$:

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ dx = 1$

Sovelluksia

Kuvitellaan, että pankki maksaa vuodessa 100 % koron. Jos pankkitilin alkusaldo on 1 €, niin vuoden kuluttua saldo on 1 €×2,0 = 2 €. Jos pankki maksaisikin 50 % koron kaksi kertaa vuodessa ja jälkimmäisellä kerralla korkoa korolle, olisi loppusaldo 1 €×1,5² = 2,25 € ja jos taas 33,3… % koron 3 kertaa vuodessa: 1 €×(1,333…)³ ≈ 2,370 €. Kun pankki maksaa 1/n-kertaisen koron n kertaa vuodessa, on loppusaldo 1 €×(1+1/n)ⁿ. Kun 1/n lähestyy nollaa eli maksukertojen määrä lähestyy ääretöntä, niin lähestyy termi (1+1/n)ⁿ e:tä. Samaan tapaan jos alkuperäinen korkoprosentti olisi x % ja maksukertojen lukumäärää vastaavalla tavalla tihennettäisiin, saataisiin raja-arvona loppusaldoksi e^x/100 €.

Myös luonnossa esiintyy kasvuilmiöitä, jotka noudattavat samantapaista matemaattista lakia. Tällaista sanotaan eksponentiaaliseksi kasvuksi. Likimääräisenä esimerkkinä tällaisesta voidaan mainita puun kasvu.

Katso myös

• Luonnollinen logaritmi
• Eksponenttifunktio

Aiheesta muualla

• Mathworld: e