Neperin luku

Wikipedia

Sinisellä funktio

e x

. Punainen viiva esittää tangenttisuoraa

e x

:lle pisteessä

(0,1)

, jolloin sen kulmakerroin on tasan yksi. Muotoa

c x

olevista eksponenttifunktioista vain

e x

omaa kyseisen ominaisuuden.

Neperin luku on matemaattinen vakio, jonka likiarvo viidentoista desimaalin tarkkuudella on $2,718281828459045$ ja jolle on kiinnitetty merkintä $e$ . Neperin luku on luonnollisen logaritmifunktion kantaluku. Se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Napier itse ei käyttänyt kantalukua $e$ , mutta jälkeenpäin on huomattu, että hänen logaritmien laskujärjestelmänsä on liittynyt luonnolliseen logaritmiin. Neperin luku on irrationaalinen ja transsendenttinen. Transsendenttisuustodistuksen antoi Charles Hermite vuonna 1873.

Neperin luku on määritelmän mukaan $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

[muokkaa] Esiintyvyys luonnossa

Kuvitellaan, että pankki maksaa vuodessa 100 % koron. Jos pankkitilin alkusaldo on 1 €, niin vuoden kuluttua saldo on 1 €×2,0 = 2 €. Jos pankki maksaisikin 50 % koron kaksi kertaa vuodessa olisi loppusaldo 1 €×1,5² = 2,25 € ja jos taas 33,3… % koron 3 kertaa vuodessa: 1 €×(1,333…)³ ≈ 2,370 €. Kun pankki maksaa n-kertaisen koron 1/n kertaa vuodessa, on loppusaldo 1 €×(1+n)^1/n. Kun n lähestyy nollaa eli maksukertojen määrä lähestyy ääretöntä, niin lähestyy termi (1+n)^1/n e:tä.

[muokkaa] Todistus

Tutkittaessa eksponenttifunktioiden derivaattoja havaitaan, että löytyy tapaus, jolloin $c x = D (c x)$ , kun $c = e\,\!$ . Toisin sanoen neperin luku on siis määritelty niin, että funktio $f(x) = c^x\,\!$ ja sen derivaatta ovat täsmälleen samoja kun $c = e\,\!$ :

Olkoot $f(x_0) = c^{x_0},\ c \in \mathbb{R}$ . Määritelmän mukaan:

$\begin{align} f(x_0) & = f'(x_0) \\ c^{x_0} & = \frac{d}{dx}(c^{x_0}) \\ c^{x_0} & = \lim_{x \to x_{0+}}\left(\frac{c^x - c^{x_0}}{x - x_0}\right) \\ c^{x_0} & = c^{x_0}\lim_{n \to 0+}\left(\frac{c^n - 1}{n}\right) \\ 1 & = \lim_{n \to 0+} \frac{c^n - 1}{n} \\ \lim_{n \to 0+} n & = \lim_{n \to 0+} c^n - 1 \\ \lim_{n \to 0+} c^n & = \lim_{n \to 0+} 1 + n \\ c & = \lim_{n \to 0+} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} \end{align}$

Määritetään vielä, että $c = e$ .

$\begin{align} e & = \lim_{n \to 0+} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{align}$

[muokkaa] Vaihtoehtoisia esitysmuotoja

Funktion

f (x) = 1 / x

ja x -akselin rajoittama pinta-ala on tasan yksi välillä

[1, e]

.

$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \cdots$

Luku $e$ voidaan esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona:

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{\frac{1}{2}} \left ( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \right )^{\frac{1}{4}} \left ( \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \right )^{\frac{1}{8}} \cdots$