Riemann–Stieltjes-integraali

Riemannin–Stieltjesin integraali on Riemannin integraalin yleistetty muoto. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.

Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa
$\int_{a}^{b} f(x) d g(x)$,
missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi.
Integraali voi myös olla muotoa
$\int_{a}^{b} f(x) d \alpha$.

Määritelmä

Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa $x_0,x_1, \cdots , x_n$ , missä

a= $x_0$ ≤ $x_1$ ≤ $\cdots$ ≤ $x_n$ = b.

Merkitään

$\Delta$ $x_i$ = $x_i - x_{i-1}$, missä (i = 1, $\cdots$ , n).

Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan

$M_i$ = sup f(x) ($x_{i-1}$ ≤ x ≤ $x_i$)

$m_i$ = inf f(x) ($x_{i-1}$ ≤ x ≤ $x_i$).

Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä

$\Delta$ α = α($x_i$) - α($x_{i-1}$).

On selvää, että $\Delta$ α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan

U (P, f, α) = $\sum_{i=1}^{n}$ $M_i$ $\Delta$ $\alpha_{i}$,

L (P, f, α) = $\sum_{i=1}^{n}$ $m_i$ $\Delta$ $\alpha_{i}$.

Jos

$inf U(P, f,\alpha) = sup L(P, f, \alpha)$ ,

missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään
$\int_{a}^{b} f d \alpha$
tai $\int_{a}^{b} f(x) d \alpha(x)$. Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi $\alpha$:n suhteen yli välin [a,b].

Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin

Merkitsemällä $\alpha(x) = x$ nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:

$\int_{a}^{b} f(x) d \alpha = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Yleisissä tapauksissa $\alpha$:n ei tarvitse olla jatkuva.

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia.
Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.

Muuttujan vaihto

Olkoon funktio $f \in R$ välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja $\beta$ ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti

$h(x) = f [g(x)], \beta = \alpha[g(x)]$,

jos $x \in S$.
Silloin funktio $h \in R$ välillä S ja
$\int_{a}^{b} f d \alpha = \int_{c}^{d} h d \beta$.

Lineaariominaisuudet

Jos $f \in R(\alpha)$ ja $g \in R(\alpha)$ välillä [a,b], niin

$c_1 f + c_2 g \in R(\alpha)$ välillä [a,b] ja

$\int_{a}^{b} (c_1 f + c_2 f)d \alpha = c_1 \int_{a}^{b} f d \alpha + c_2 \int_{a}^{b} g d \alpha$.

Katso myös

• Lebesgue-Stieltjes-integraali

Lähteet

• Rudin W., Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, 1953
• Laitinen T. Riemann-Stieltjes integraali, Pro Gradu-työ, 2006