Viivaintegraali

Tämä artikkeli käsittelee viivaintegraalia matematiikassa, ei Richard Feynmanin kehittämää kvanttimekaanista polkuintegraalia.

Matematiikassa viivaintegraalilla (polkuintegraalilla) tarkoitetaan funktion integroimista käyrää pitkin. Tavallinen Riemannin yksiulotteinen integraali

$\int_a^b f(x) \, dx$

onkin tavallaan viivaintegraali x-akselilla kulkevaa janaa pitkin. Fysiikassa polkuintegraalin käyttö rajoittuu lähinnä vektorilaskentaan, kun taas matematiikassa polkuintegraali on erityisen oleellinen käsite kompleksianalyysissä.

Skalaarikentän viivaintegraali

Olkoon $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ skalaarikenttä ja $\mathbf{r}(t) : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ käyrän C parametrisaatio. Tällöin $f$:n viivaintegraali käyrää C pitkin on

$\int_C f \, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) | \mathbf{r}'(t) | dt.$

Kaava on pätevä melko lievin säännöllisyysoletuksin, esimerkiksi parametrisaation $\mathbf{r}(t)$ jatkuva derivoituvuus välillä $t \in (a,b)$ riittää. Viivaintegraalin arvo on riippumaton parametrisaatiosta, eikä integroimissuunta vaikuta lopputulokseen. Käyrän kaarenpituus saadaan integroimalla funktiota $f \equiv 1$ käyrää pitkin, ja mikäli integraali suppenee, sanotaan käyrää suoristuvaksi. Mikäli fysikaalinen skalaarikenttä $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ kuvaa käyrän "viivatiheyttä" (massa/pituus), antaa viivaintegraali käyrää pitkin kokonaismassan.

Vektorikentän viivaintegraali

Olkoon $\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ vektorikenttä ja $\mathbf{r}(t) : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ käyrän C parametrisaatio. Tällöin $\mathbf{f}$:n viivaintegraali käyrää C pitkin on

$\int_C \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{f}( \mathbf{r} (t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$.

Viivaintegraalin arvo on jälleen parametrisaatiosta riippumaton, mutta integroimissuunnan vaihto muuttaa integraalin arvon vastaluvukseen. Vektorikentän viivaintegraalilla on huomattavan paljon sovelluksia fysiikassa: Esimerkiksi voimakentän $\mathbf{F} = \mathbf{F}(x,y,z)$ tekemä työ W, kun kappale liikkuu käyrän C kuvaaman matkan, saadaan viivaintegraalista

$W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$.

Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista sekä Faradayn induktiolaki että Ampere-Maxwellin laki sisältävät viivaintegraalin suljettua käyrää pitkin. Näiden lisäksi esimerkiksi Biot-Savartin lain mukaan johtimen, jossa kulkee sähkövirta I, aiheuttama magneettivuon tiheys pisteessä P saadaan integraalista

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_C d\mathbf{l} \times \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_a^b \frac{d\mathbf{l}}{dt} \times \frac{\mathbf{r}} {|\mathbf{r}|^3} dt$,

missä käyrä C kuvaa virtajohdinta ja $\mathbf{r}$ on vektori johdinelementistä $d \mathbf{l}$ pisteeseen P.

Polkuintegraali kompleksianalyysissä

Olkoon $f: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{C}$ jatkuva funktio, jonka määrittelyjoukko A on kompleksitason avoin osajoukko. Funktion polkuintegraali käyrää $\gamma$ pitkin määritellään

$\int _ \gamma f(z) dz = \int _a ^b f(\gamma (t)) \gamma '(t) dt$,

missä $\gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{C}$ on polun jatkuvasti derivoituva parametrisaatio. Integraalin arvo ei riipu polun parametrisaatiosta suunnistusta lukuun ottamatta. Analyyttisen funktion polkuintegraali pisteestä toiseen on lisäksi polusta riippumaton, ja polkuintegraalin arvo voidaankin laskea funktion integraalifunktion avulla analyysin peruslauseen mukaisesti, aivan kuten reaalisessa tapauksessa. Lisäksi analyyttisen funktion polkuintegraali suljettua käyrää pitkin on nolla. Polkuintegraalien laskutekniikka kompleksianalyysissä huipentuu residy-laskentaan, jonka avulla hyvinkin monimutkaisten funktioiden polkuintegraaleja suljettuja käyriä pitkin voidaan laskea helpohkosti.

Funktion polkuintegraali kaarenpituuden suhteen määritellään

$\int _\gamma f(z) |dz| = \int _a ^b f(\gamma (t)) |\gamma '(t)| dt$.

Esimerkki

Lasketaan esimerkkinä funktion

$f: \mathbb{C} \setminus 0 \rightarrow \mathbb{C}, \ f(z) = \frac{1}{z}$

polkuintegraali positiivisesti suunnistettua yksikköympyrää pitkin. Polun parametrisaatio on nyt

$\gamma : [0, 2 \pi] \rightarrow \mathbb{C}, \ \gamma (t) = \cos (t) + i \sin (t)$,

joten polkuintegraaliksi saadaan

$\oint _\gamma f(z)dz = \int_0 ^{2 \pi} \frac{1}{ \cos (t) + i \sin (t)} \cdot (- \sin (t) + i \cos (t) ) dt = \int _0 ^{2 \pi} i dt = 2 \pi i.$

Polkuintegraali tätä suljettua käyrää pitkin poikkeaa nollasta, koska funktio ei ole analyyttinen polun sisäänsä sulkemassa alueessa (funktiolla on ensimmäisen kertaluvun napa origossa).

Funktion residy origossa saadaan kaavalla

$\textrm{Res} (f,0) = \lim _{z \rightarrow 0} z \cdot f(z) = \lim _{z \rightarrow 0} z \cdot \frac{1}{z} = 1$,

joten residylauseen mukaan polkuintegraali mitä tahansa yksinkertaista suljettua käyrää pitkin origon ympäri on

$\oint _\gamma f(z) dz = 2 \pi i \sum _{z_0 \in \textrm{int} (\gamma)} \textrm{Res} (f,z_0) = 2 \pi i.$

Katso myös

• Mittaintegraali
• Riemannin integraali
• Maxwellin yhtälöt