Geometrinen sarja

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kuvasta nähdään, että geometrinen sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... suppenee kohti lukua 2.

Matematiikassa geometrisella sarjalla tarkoitetaan sarjaa, jossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio. Jos tämä vakio on q ja sarjan ensimmäinen termi on a, sarjan n:s termi on muotoa aqn-1. Tällöin sarjaa merkitään

\sum_{k=0}^{\infty}aq^k = aq^0 + aq^1 + aq^2...[1]


Sarja suppenee, kun −1 < q < 1, ja tällöin sen summaksi saadaan

\sum_{k=0}^{\infty}aq^k=\frac{a}{1-q}.

Osasummille on voimassa[2]

\sum_{k=0}^{n-1}aq^k=a\cdot\frac{1-q^n}{1-q}, kun q\ne 1.

\sum_{k=m}^{n-1}aq^k=a\cdot\frac{q^m-q^n}{1-q}, kun q\ne 1.

Todistus osasumman kaavalle:

Olkoon n määrä sarjan termejä seuraavasti: aq0 + aq1 + aq2 + ... + aqn-1

Merkitään osasummaa seuraavasti S =: aq0 + aq1 + aq2 + ... + aqn-1

qS = aq1 + aq2 + aq3 + ... + aqn

S - qS = a - aqn

S = a * (1 - qn)/(1 - q)

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Adams, Robert A.: ”9.2. Infinite Series”, Calculus: A Complete Course, s. 480. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
  2. Adams, Robert A.: ”9.2. Infinite Series”, Calculus: A Complete Course, s. 481. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.