Geometrinen sarja

Kuvasta nähdään, että geometrinen sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... suppenee kohti lukua 2.

Matematiikassa geometrisella sarjalla tarkoitetaan sarjaa, jossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio. Jos tämä vakio on q ja sarjan ensimmäinen termi on a, sarjan n:s termi on muotoa aq^n-1. Tällöin sarjaa merkitään

$\sum_{k=0}^{\infty}aq^k = aq^0 + aq^1 + aq^2...$

Sarja suppenee, kun −1 < q < 1, ja tällöin sen summaksi saadaan

$\sum_{k=0}^{\infty}aq^k=\frac{a}{1-q}.$

Osasummille on voimassa

$\sum_{k=0}^{n-1}aq^k=a\cdot\frac{1-q^n}{1-q},$ kun $q\ne 1.$

$\sum_{k=m}^{n-1}aq^k=a\cdot\frac{q^m-q^n}{1-q},$ kun $q\ne 1.$

Todistus osasumman kaavalle:

Olkoon n määrä sarjan termejä seuraavasti: aq⁰ + aq¹ + aq² + ... + aq^n-1

Merkitään osasummaa seuraavasti S =: aq⁰ + aq¹ + aq² + ... + aq^n-1 ⇒

qS = aq¹ + aq² + aq³ + ... + aqⁿ ⇒

S - qS = a - aqⁿ ⇒

S = a * (1 - qⁿ)/(1 - q)

Katso myös

• Aritmeettinen sarja