Käänteisalkio

Käänteisalkion käsite liittyy abstraktiin algebraan, jossa kahden joukkoon $S$ kuuluvan alkion $a,b \in S$ binäärioperaation laskutulos $a*b$ on joukon $S$ neutraalialkio $e$ eli

$a*b=e.$

Tällöin sanotaan, että $a$ ja $b$ ovat toistensa käänteisalkioita. Käänteisalkion nimitys tulee reaalilukujen kertolaskusta, jossa neutraalialkio on luku 1 ja jokaisella luvulla $a \in \R\smallsetminus0$ on olemassa yksi käänteisluku $b = \tfrac{1}{a} \in \R$, jolle $a\cdot b = a\cdot \tfrac{1}{a} = 1.$

Formaali määritelmä, nimitykset ja merkinnät

Alkiolla $b$ on vasemmanpuoleinen käänteisalkio $a$, jos $a*b=e,$ ja oikeanpuoleinen käänteisalkio, jos $b*a=e.$ Mikäli alkiolla on samanaikaisesti sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen käänteisalkio, sanotaan vain, että sillä on olemasssa käänteisalkio. Jos alkiolla on olemassa käänteisalkio sanotaan, että alkio on kääntyvä.

Jos laskutoimitusta pidetään luonteeltaan multiplikatiivisena, merkitään alkion $x$ käänteisalkiota $x^{-1}$. Jos se taas on additiivinen, se merkitään kuten vastaluvutkin yhteenlaskussa eli $-x$.

Esimerkkejä

Kokonaislukujen joukossa pari $(\Z,*)$ sisltää vain muutaman käänteisalkion eli käänteisluvun, kun laskutoimitus $*$ on kertolasku. Selvästikään luvulla 2 ei ole käänteislukua olemassa, koska sen pitäisi olla $\tfrac{1}{2} \notin \Z$. Ainoat luvut, jolla on olemassa käänteisluvut, ovat -1 ja 1. Näiden käänteisluvut ovat luvut itse.

Jos määritetään erikoinen laskutoimitus $a\star b= a + b - 1$ kokonaislukujen joukossa. Jos valitaan ensin kokonaisluku $s$, voidaan laskea sille käänteisalkio ehdosta $a + b - 1 = 1$. Sillä on oikeanpuoleinen käänteisluku $-s = 2- s$, koska $a\star b= s\star (-s)=s + (2-s) - 1=1$. Sama voidaan osoittaa oikeanpuoleisesti.

Funktioiden joukossa $\mathcal{F}(X)$, missä $X$ on funktioiden määrittely- ja arvojoukko, identtinen kuvaus $id(x)=x$ on yhdisteen $\circ$ neutraalialkio. Silloin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa $id \circ f = f = f \circ id.$ Jos $f \in \mathcal{F}(X)$ on bijektio, on $f^{-1} \in\mathcal{F}(X)$ funktion $f$ käänteiskuvaus laskutoimituksen $\circ$ suhteen ja $f \circ f^{-1} = id = f^{-1} \circ f$. Muilla joukon $f \in \mathcal{F}(X)$ alkioilla, jotka eivät ole bijektioita, ei ole käänteiskuvausta.

Käänteisalkiot algebrassa

Lukujoukko ja laskutoimitus muodostavat parin, joka voi olla monoidi. Monoidilla ei tarvitse olla käänteisalkioita, vaikka sillä on neutraalialkio. Sen sijaan ryhmällä on käänteisalkiot, sillä se saadaan monoidista vaatimalla jokaiselle alkiolle yksikäsitteinen käänteisalkio. Kun ryhmälle tehdään laajennus toisella laskutoimituksella, tulee vähintään additiivisella laskutuimituksella olla käänteisalkiot. Tätä algebraa kutsutaan renkaaksi. Jos sekä additiivisella- että multiplikatiivisella laskutoimituksella on molemmilla olemassa käänteisalkiot, kutsutaan sitä kunnaksi.

Aiheesta muualla

• Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets