Käänteisalkio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Käänteisalkion käsite liittyy abstraktiin algebraan, jossa kahden joukkoon S kuuluvan alkion a,b \in S binäärioperaation laskutulos a*b on joukon S neutraalialkio e eli

a*b=e.

Tällöin sanotaan, että a ja b ovat toistensa käänteisalkioita. Käänteisalkion nimitys tulee reaalilukujen kertolaskusta, jossa neutraalialkio on luku 1 ja jokaisella luvulla a \in \R\smallsetminus0 on olemassa yksi käänteisluku b = \tfrac{1}{a} \in \R, jolle a\cdot b = a\cdot \tfrac{1}{a} = 1.

Formaali määritelmä, nimitykset ja merkinnät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkiolla b on vasemmanpuoleinen käänteisalkio a, jos a*b=e, ja oikeanpuoleinen käänteisalkio, jos b*a=e. Mikäli alkiolla on samanaikaisesti sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen käänteisalkio, sanotaan vain, että sillä on olemasssa käänteisalkio.[1][2] Jos alkiolla on olemassa käänteisalkio sanotaan, että alkio on kääntyvä.[3]

Jos laskutoimitusta pidetään luonteeltaan multiplikatiivisena, merkitään alkion x käänteisalkiota x^{-1}. Jos se taas on additiivinen, se merkitään kuten vastaluvutkin yhteenlaskussa eli -x. [2][4][5]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kokonaislukujen joukossa pari (\Z,*) sisältää vain muutaman käänteisalkion eli käänteisluvun, kun laskutoimitus * on kertolasku. Selvästikään luvulla 2 ei ole käänteislukua olemassa, koska sen pitäisi olla \tfrac{1}{2} \notin \Z. Ainoat luvut, jolla on olemassa käänteisluvut, ovat -1 ja 1. Näiden käänteisluvut ovat luvut itse. [1]

Jos määritetään erikoinen laskutoimitus a\star b= a + b - 1 kokonaislukujen joukossa. Jos valitaan ensin kokonaisluku s, voidaan laskea sille käänteisalkio ehdosta a + b - 1 = 1. Sillä on oikeanpuoleinen käänteisluku -s = 2- s, koska a\star b= s\star (-s)=s + (2-s) - 1=1. Sama voidaan osoittaa vasemmanpuoleisesti. [1]

Funktioiden joukossa \mathcal{F}(X), missä X on funktioiden määrittely- ja arvojoukko, identtinen kuvaus id(x)=x on yhdisteen \circ neutraalialkio. Silloin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa id \circ f = f = f \circ id. Jos f \in \mathcal{F}(X) on bijektio, on f^{-1} \in\mathcal{F}(X) funktion f käänteiskuvaus laskutoimituksen \circ suhteen ja f \circ f^{-1} = id = f^{-1} \circ f. Muilla joukon f \in \mathcal{F}(X) alkioilla, jotka eivät ole bijektioita, ei ole käänteiskuvausta. [2]

Käänteisalkiot algebrassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lukujoukko ja laskutoimitus muodostavat parin, joka voi olla monoidi. Monoidilla ei tarvitse olla käänteisalkioita, vaikka sillä on neutraalialkio.[6] Sen sijaan ryhmällä on käänteisalkiot, sillä se saadaan monoidista vaatimalla jokaiselle alkiolle yksikäsitteinen käänteisalkio.[7] Kun ryhmälle tehdään laajennus toisella laskutoimituksella, tulee vähintään additiivisella laskutuimituksella olla käänteisalkiot. Tätä algebraa kutsutaan renkaaksi.[8] Jos sekä additiivisella- että multiplikatiivisella laskutoimituksella on molemmilla olemassa käänteisalkiot, kutsutaan sitä kunnaksi.[9][10]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas: Arkansas Tech University. (englanniksi)
  2. a b c Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)
  3. Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste)) 2010. Helsinki: Helsingin yliopisto.
  4. Margherita Barile: Additive Inverse (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Margherita Barile: Multiplicative Inverse (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.: Group (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Weisstein, Eric W.: Ring (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Weisstein, Eric W.: Field (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Margherita Barile: Invertible Element (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)