Hyvinjärjestys

Hyvinjärjestys joukossa X on matematiikassa sellainen täydellinen järjestysrelaatio R, että jokaisella joukon X ei-tyhjällä osajoukolla on relaatiolla R pienin alkio.

Esimerkiksi tavallinen lukujen suuruusvertailu on hyvinjärjestys luonnollisten lukujen joukossa. Valittiinpa millä ehdolla tahansa osajoukko luonnollisia lukuja, jokin valituista on pienin. Esimerkiksi on olemassa "pienin luonnollinen luku, joka kerrottuna itsellään on yli kymmenen"; tämä on tietysti luku 4.

Tavallinen suuruusvertailu ei ole hyvinjärjestys kokonaislukujen tai rationaalilukujen joukossa. Esimerkiksi kokonaislukujen osajoukolla "negatiiviset kokonaisluvut" ei ole pienintä alkiota, vaan kokonaisluvusta voidaan aina vähentää vielä yksi. Rationaalilukujen osajoukolla "nollaa suuremmat luvut" ei ole pienintä alkiota, koska aina voidaan luku jakaa vielä kahdella tai isommalla luvulla.

Kokonaisluvut voidaan hyvinjärjestää esimerkiksi {0, -1, 1, -2, 2, ...}; hyvinjärjestys on siis jonkin joukun järjestysrelaation ominaisuus, ei itse joukon ominaisuus. Joukko-opissa valinta-aksioomasta seuraa, että mikä tahansa joukko voidaan hyvinjärjestää.