Lattia- ja kattofunktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Lattiafunktio
Kattofunktio

Lattia- ja kattofunktio ovat kaksi matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä käytettävää funktiota, jotka muuntavat mielivaltaisen reaaliluvun kokonaisluvuksi.[1]

Nimet "katto" (ceiling) ja "lattia" (floor) sekä vakiintuneet merkintätavat esitti ensimmäisenä Kenneth E. Iverson vuonna 1962. [2]

Lattiafunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lattiafunktio reaaliluvusta x, joka merkitään \lfloor x \rfloor tai floor(x), palauttaa suurimman kokonaisluvun, joka on pienempi tai yhtäsuuri kuin x. Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

 \lfloor x \rfloor=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.

Esimerkiksi floor(2.9) = 2, floor(−2) = −2 ja floor(−2.3) = −3.

Positiivisilla luvuilla x funktiota floor(x) voidaan kutsua myös x:n kokonaislukuosaksi. Funktio x -\lfloor x\rfloor (myös x mod 1) on x:n desimaaliosa.

Kattofunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kattofunktio, jota merkitään \lceil x \rceil tai ceil(x), palauttaa pienimmän kokonaisluvun, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin x. Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

 \lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}

Esimerkiksi ceil(2,3) = 3, ceil(2) = 2 ja ceil(−2.3) = −2.

Lattiafunktion ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Seuraava epäyhtälö on aina voimassa reaaliluvulle x :
 \lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1
  • Kun x ja n ovat positiivisia lukuja,
 \left\lfloor \frac{n}{x} \right\rfloor \geq \frac{n}{x} - \frac{x-1}{x}
  • Lattiafunktio on idempotentti: \lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor.
  • Mille tahansa kokonaisluvulle k ja reaaliluvulle x,
 \lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor
  • Luvun x perinteinen pyöristäminen voidaan ilmaista tavalla: floor(x + 0,5)
  • Lattiafunktio ei ole jatkuva, vaan puolijatkuva funktio. Vakiofunktiona sen derivaatta on nolla jokaisessa pisteessä jotka eivät ole kokonaislukuja.
  • Jos x on reaaliluku ja n on kokonaisluku, pätee nx jos ja vain jos n ≤ floor(x).
  • Reaalilukujen x, jotka eivät ole kokonaislukuja, lattiafunktio voidaan esittää Fourier-esityksenä:
\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}
\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2
  • Jokaisen positiivisen kokonaisluvun k numeroiden määrä määritellään
\lfloor \log_{10}(k) \rfloor + 1

Kattofunktion ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Voidaan näyttää, että
\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor
sekä
x \leq \lceil x \rceil < x + 1
  • Jokaiselle kokonaisluvulle k pätee
\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Ronald Graham, Donald Knuth ja Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".
  2. Kenneth E. Iverson. "A Programming Language". Wiley, 1962.