Additiivinen funktio

Lukuteoriassa additiivisena pidetään sellaista lukuteoreettista funktiota $f$, jolle on voimassa

$f(m+n)=f(m)+f(n)\,\!$, kun $m$ ja $n$ ovat keskenään jaottomia eli kun $(m,n)=1\,\!$.

Additiivinen funktio on täydellisesti additiivinen, jos

$f(m+n)=f(m)+f(n)\,\!$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $m,n$.

Koska tarkastellaan lukuteoreettisia funktioita, niin nollan ei katsota kuuluvan luonnollisten lukujen joukkoon.

Esimerkkejä additiivisista funktioista

• Nollafunktio $f(n)=0\,\!$ on täydellisesti additiivinen, sillä

$0=f(m+n)=f(m)+f(n)=0\,\!$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $m,n$.

• Luonnollisen luvun erilaisten alkutekijöiden lukumäärän ilmoittava funktio on additiivinen, sillä keskenään jaottomilla luvuilla ei ole yhteisiä alkutekijöitä. Keskenään jaottomien lukujen tulolla on siis täsmälleen niin monta erilaista alkutekijää, kuin näillä luvuilla on yhteensä.
• Luonnollisen luvun kaikkien alkutekijöiden lukumäärän ilmoittava funktio on täydellisesti additiivinen, sillä kahden luvun tulolla on täsmälleen ne alkutekijät, jotka näillä kahdella luvulla yhdessä on.

Eräs ei-vakio esimerkki asiasta on logaritmifunktio, sillä $\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$.

Lähteet

• Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 8. tammikuuta 2008.