Symmetrinen matriisi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Symmetrinen matriisi on matriisi, joka on itsensä transpoosi. Siten A on symmetrinen jos

A^\textrm{T} = A\,,

jolloin A:n on tietysti oltava neliömatriisi. Symmetrisen matriisin alkiot sijaitsevat symmetrisesti päädiagonaalin suhteen. Jos matriisin alkioita merkitään A = (aij), on

a_{ij} = a_{ji}\,

kaikilla indekseillä i ja j. Esimerkiksi seuraava 3×3-matriisi on symmetrinen:

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & -4 & 5\\
3 & 5 & 6\end{bmatrix}

Kaikki lävistäjämatriisit ovat symmetrisiä, sillä kaikki niiden alkiot, jotka eivät ole lävistäjällä, ovat nollia. Matriisia sanotaan vinosymmetriseksi (engl. skew symmetric) jos sen vastamatriisi on A:n transpoosi eli

A^T = -A\,.

Symmetrisillä matriiseilla, ja niitä vastaavilla lineaarikuvauksilla, on muutama erittäin tärkeä ominaisuus:

  1. Symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
  2. Symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
  3. Symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruuden \mathbb{R}^n ortonormaalikanta.

Näillä ominaisuuksilla on keskeinen asema monissa sovelluksissa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.