Transpoosi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarialgebrassa matriisin transpoosi on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin. Neliömatriisin transpoosi saadaan peilaamalla alkiot päälävistäjän suhteen. Matriisin A transpoosia merkitään Atr, tA, A′ tai AT.

Muodollisesti m×n-matriisin A transpoosi on n×m-matriisi AT, jolle AT[i, j] = A[j, i] kaikilla 1 ≤ in ja 1 ≤ jm.

Esimerkiksi

\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}\quad\quad \mbox{ja}\quad\quad 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaikille m×n-matriiseille A ja B ja kaikille skalaareille c pätee (A + B)T = AT + BT ja (cA)T = c(AT). Tämän perusteella transpoosi on lineaarikuvaus m×n-matriisien joukosta n×m-matriisien joukkoon.

Transpoosi on itsensä käänteiskuvaus eli (AT)T = A.

Jos A on m×n-matriisi ja B on n×k-matriisi, on (AB)T = (BT)(AT). Huomaa, että tulon tekijöiden järjestys vaihtuu. Tästä voidaan päätellä, että neliömatriisi A on kääntyvä vain jos AT on kääntyvä. Tällöin on (A-1)T = (AT)-1.

Kahden (pysty)vektorin a ja b pistetulo voidaan laskea matriisitulona

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b} \,

missä oikealla puolella oleva tulo on tavallinen matriisien kertolasku.

Jos A on mielivaltainen reaalikertoiminen m×n-matriisi, on ATA positiivisesti semidefiniitti matriisi.

Jos A on n×n-matriisi jossain kunnassa, on A similaarinen transpoosinsa AT kanssa.

Lisää määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos neliömatriisi A on itsensä transpoosi, A:ta sanotaan symmetriseksi. Siis A on symmetrinen vain jos

\ A = A^{\mathrm{T}}

Ortogonaalinen matriisi on matriisi A, jolle A-1=AT.

Jos neliömatriisille A pätee AT=-A, sanotaan A:ta vinosymmetriseksi.

Kompleksikertomisen matriisin A konjugaattinen transpoosi A* saadaan kun A transponoidaan ja sen jälkeen jokaisesta alkiosta otetaan kompleksikonjugaatti.

Lineaarikuvausten transpoosi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos f: V→W on vektoriavaruuksien välinen lineaarinen operaattori duaaliavaruuksinaan W* ja V*, on f:n transpoosi määritelmän mukaan lineaarikuvaus tf : W*→V*, jolle


  {}^t f (\phi ) = \phi \circ f \,
  kaikilla \ \phi \in W*.

Jos matriisi A on kahden kannan välinen lineaarikuvaus, on matriisi AT kahden duaaliavaruuden kannan välinen lineaarikuvaus.