Riemannin hypoteesi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Riemannin zeetafunktion reaaliosa (punainen käyrä) ja imaginaariosa (sininen käyrä) kriittisellä suoralla Re(s) = 1/2. Ensimmäiset ei-triviaalit nollakohdat ovat 1/2  ± 14,135 i, 1/2 ± 21,022 i ja 1/2 ± 25,011 i.

Riemannin hypoteesi on Bernhard Riemannin vuonna 1859 esittämä hypoteesi Riemannin zeeta-funktion nollakohtien esiintymisestä.

Hypoteesi on yksi tärkeimmistä avoimista ongelmista matematiikassa. Vuonna 1900 David Hilbert nimesi sen numero kahdeksaksi kuuluisalle listalleen 23:sta tärkeimmästä ratkaisemattomasta ongelmasta. Hän sanoi, että jos olisi nukkunut tuhat vuotta ja heräisi, hän kysyisi ensimmäisenä: "Onko Riemannin hypoteesi todistettu?" Clay Mathematics Institute on luvannut sen todistamisesta miljoonan dollarin palkinnon.

Hypoteesi on kytköksissä alkulukujen ominaisuuksiin.

Olkoon s = \sigma + it kompleksiluku, jossa \sigma ja t ovat reaalilukuja.

Tällöin Riemannin zeeta-funktion

\zeta(s) = 1 + 2^{-s} + 3^{-s} + \dots  = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

kaikki aidosti kompleksiset nollakohdat ovat hypoteesin mukaan kompleksitason suoralla

\sigma = 1 / 2.

Riemannin zeeta-funktio on määritelty kaikille kompleksiluvuille s ≠ 1. Se saa arvon nolla kaikilla negatiivisilla parillisilla kokonais­luku­arvoilla kuten -2, -4, -6 jne. Näitä sanotaan sen triviaaleiksi nollakohdiksi. Hypoteesi siis sanoo, että funktion kaikki ei-triviaalien nollakohtien reaaliosa on 1/2.

Tietokoneita apuna käyttäen on Riemannin zeeta-funktiolle laskettu miljardeja nollakohtia. Kaikkien näiden on havaittu toteuttavan Riemannin hypoteesin. Vaikka hypoteesia ei ole onnistuttu todistamaan, sen paikkansapitävyyden puolesta puhuu siis erittäin vahva "numeerinen todistusaineisto".

Riemannin hypoteesille on esitetty lukuisia yhtäpitäviä väittämiä. Luonnollisesti yhtään näistäkään ei ole onnistuttu todistamaan. Riemannin hypoteesi ja sitä vastaavat väittämät ovat kuitenkin erittäin tehokkaita lukuteorian työkaluja. Suuri joukko lukuteorian keskeisistä tuloksista nojautuukin nykyään olettamukseen Riemannin hypoteesin paikkansapitävyydestä. Lukuteoreettisten artikkelien yhteydessä onkin lähes lentäväksi lauseeksi muodostunut teksti "Under the assumption of Riemann hypothesis...".

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Derbyshire, John: Alkulukujen lumoissa: Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. (Alkuteos: Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, 2003.) Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 2006. ISBN 952-5202-75-5.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.