Matemaattinen merkintä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Katso myös: Luettelo matemaattisista merkeistä, Kreikkalainen kirjaimisto

Matemaattista merkintää eli matemaattista notaatiota käytetään ainakin matematiikassa, luonnontieteissä ja kirjanpidossa.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matemaattinen merkintä on kirjoitusjärjestelmä (oikeastaan formaali kieli), jota käytetään tallentamaan matemaattisia käsitteitä. Merkintä käyttää symboleita tai symbolien yhdistelmiä, joille on niitä kehitettäessä pyritty asettamaan mahdollisimman täsmällinen ja käytännöllinen merkitys.

Matemaattisen merkinnän historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Uskotaan, että jonkinlainen matemaattinen merkintä kehittyi ensimmäisen kerran vähintään 50 tuhatta vuotta sitten esineiden laskemisen auttamiseen. Todennäköisesti vanhimmat laskemiseen liittyvät säilyneet tekstit ovat peräisin sumereilta.

Geometriaan liittyvä merkistö kehittyi yhtenäiseksi vasta 1600-luvulla analyyttisen geometrian myötä.

Lopullisesti matemaattinen merkintä asettui nykyiseen standardoituun muotoonsa vasta 1700- ja 1800-luvulla.

Matemaattiset merkit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaali- ja kompleksiluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symboli Vaihtoehto Tarkoittaa Esimerkki
= Yhtä suuri. Yhdistää kaksi lauseketta samanarvoisiksi. 2+5+9 = 16
Erisuuri. Ilmoittaa, että merkki tai numero on erisuuri kuin toinen. X ≠ 6 tai 5 ≠ 6
< ja > Pienempi kuin ja suurempi kuin. Terävän pään osoittama luku on pienempi. 3<7 ja 7>3 tai X>3 ja 3<X

Aritmetiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Peruslaskutoimitukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symboli Luetaan Tarkoittaa Esimerkki
+ "2+2" Kaksi plus kaksi Yhteenlasku – Muodostaa kahden luvun summan. 2+5+9=16
- "2−2" Kaksi miinus kaksi Vähennyslasku – Muodostaa kahden luvun erotuksen. 2-2=0
* "3*4" Kolme kertaa neljä Kertolasku – muodostaa kahden luvun tulon. Lyhenne toistuvalle yhteenlaskulle. 3*4=3+3+3+3=4+4+4=12
/ "2/5" Kaksi jaettuna viidellä Jakolasku – muodostaa kahden luvun osamäärän. Nollalla ei voi jakaa. Jakolaskulle on paljon vaihtoehtoisia merkintöjä. 2/5=0,4

Potenssit ja juuret[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symboli Tarkoittaa Luetaan
x^y Potenssilasku - Suurempaa merkkiä kutsutaan kantaluvuksi, ja sen yläindeksiä eksponentiksi. Merkintä tarkoittaa, että kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti määrää. x y:änteen tai x potenssiin y
\sqrt[x]{y} Juuri - Esimerkiksi merkintä \sqrt[2]{4} tarkoittaa lukua X, joka korotettuna toiseen potenssiin on neljä. Yleensä tämä tosin merkitään \sqrt[]{4}, eli numeroa kaksi ei merkitä (kaikki muut luvut merkitään). x:s juuri y:stä

Muut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symboli Selitys
Negatiivinen etumerkki
...|... Jaollisuuden merkintä - Merkintä tarkoittaa, että oikealla puolen pystyviivaa oleva luku on jaollinen vasemmalla puolella olevalla,
 \sum Summan merkintä - Esimerkiksi \sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +\cdots+ x_{n-1} + x_n. Käytännössä lasketaan kaikki X:t x_m:n ja x_n:n väliltä. Pientä i-kirjainta kutsutaan summausindeksiksi.
\prod Tulon merkintä - Esimerkiksi \prod_{k=1}^na_k=a_1 a_2...a_n. Käytännössä kerrotaan keskenään kaikki a:t välillä a_1 - a_n

Geometria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symboli Tarkoittaa
...||... Suorat ... ja ... ovat samansuuntaiset
...° "°"-merkki ilmoittaa kulman suuruutta, astemäärää.
π "π" - Pii. Pii on luku, joka on yhtä suuri kuin ympyrän halkaisijan suhde kehään euklidisessa geometriassa. π≈3,14
\angle Kulman merkki. Esimerkiksi kulma, jonka oikea sivu A ja vasen sivu B leikkaavat pisteessä C, on nimeltään \angle ACB.
\perp Suoran kulman merkki.

Joukko-oppi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symboli Miten luetaan Määritelmä
{a, b, c} Joukko (, jonka alkiot ovat) a, b, c
{|} Alkioiden tulee täyttää molemmat pystyviivan eri puolilla olevat ehdot.
... = ... ... on sama kuin ... Osoittaa, että merkin eri puolilla olevat joukot sisältävät samat alkiot.
... ≠ ... ... on eri kuin ... Osoittaa, että merkin eri puolilla olevat joukot eivät ole samat.
\in
\not\in
a \in A "alkio a kuuluu joukkoon A"

a \not\in A "alkio a ei kuulu joukkoon A"

\subset

\subseteq

B \subset A "joukko B on joukon A osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio". Joskus merkitään B \subseteq A. B \subset A "joukko B on joukon A (aito) osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio (mutta BA)".

B \subset A, kun kaikilla b \in B pätee b \in A,
ts. \forall b \in B: b \in B \Rightarrow b \in A
\wedge Looginen ja
\vee Looginen tai
\cup A \cup B "A unioni B", "Joukkojen A ja B yhdiste" A \cup B =\{x \in E | x \in A \vee x \in B\} =
{Joukkojen A ja B kaikkien alkioiden joukko}
(Tässä E on niin sanottu perusjoukko.)
\cap A \cap B "A leikkaus B" A \cap B =\{x \in E | x \in A\ \wedge x \in B\} =
{Joukkojen A ja B yhteiset alkiot}
\ A \ B "A miinus B". Merkitään joskus myös merkillä "-". A \ B =\{x \in E | x \in A \wedge x \not\in B\} =
{Kaikki ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A mutta eivät kuulu joukkoon B (ks. joukkoerotus)}
 \Delta  A \Delta B = (A-B)\cup(B-A) = {Kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B, mutta eivät kuulu molempiin.}
Ac Ac "A:n komplementti" Ac =\{x \in E | x \not\in A\} =
{Kaikki ne alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A}
\mathcal{P}(A) \mathcal{P}(A) "A:n potenssijoukko" \mathcal{P}(A) = {Kaikki A:n osajoukot}
 \mbox{card}(X) X:n kardinaali X:n sisältämien alkioiden lukumäärä

Lukujoukot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symboli Tarkoittaa Esimerkiksi
\mathbb{N} Luonnollisten lukujen joukko 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...
\mathbb{Z} Kokonaislukujen joukko ... -2, -1, 0, 1, 2 ...
\mathbb{Q} Rationaalilukujen joukko. Reaaliluvut, jotka voidaan ilmoittaa murtolaskuna \frac{a}{b}
\mathbb{R} Reaalilukujen joukko, kaikki luvut π, e ja 100
\mathbb{C} Kompleksilukujen joukko, reaalilukujen laajennus  x + yi \,

<<[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkintää "<<" tai ">>" käytetään merkitsemään lauseke paljon suuremmaksi kuin toinen lauseke. Tämä on epämääräinen määritelmä, ja yleensä käytetäänkin merkkejä "<" ja ">", ellei ole välttämätöntä korostaa, että lauseke on "paljon" suurempi kuin toinen. Merkinnän terävä pää osoittaa aina pienempää ja avonainen suurempaa suuretta päin. Esimerkiksi 0,1<<1000.

\ll[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkintää \ll käytetään reaalianalyysissä merkitsemään mittojen absoluuttista jatkuvuutta.

≤ tai ≥[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pienempi/suurempi tai yhtä suuri kuin -merkki on reaalilukujen kaksipaikkainen relaatio, jota käytetään reaalilukujen vertailuun. Se on muuten kuin suurempi kuin -relaatio, mutta se on myös järjestysrelaatio.

Esimerkki käytöstä: 2 \geq 1, koska 2-1 \in \mathbb{N}_0 (N_0).

Formaali määritelmä:

Olkoon \geq relaatio joukossa \mathbb{N}_0, toisin sanoen \geq \subset \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0.

Määritellään relaatio seuraavasti.

m, n \in \mathbb{N}: (\left(m,n)\in \, \geq \right) \Leftrightarrow(\left(m - n) \in \mathbb{N}_0 \right).

Siis sanallisesti: Luku m on suurempi tai yhtä suuri kuin n, jos ja vain jos erotus m - n kuuluu positiivisten kokonaislukujen joukkoon.

Määritelmä voidaan siirtää suoraan reaaliluvuille, mutta ei esimerkiksi kompleksiluvuille.

+[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhteenlaskumerkki (sekä erillinen unioni (engl. disjoint union) (?) -merkki)

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vähennyslaskumerkki, negatiivinen etumerkki, joukkoerotusmerkki

×[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertomerkki sekä karteesinen tulo -merkki; (engl. cross product)

·[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertomerkki (pistetulon)

÷ tai /[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jakomerkki sekä murtomerkki

±[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Plus-miinusmerkki

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliöjuurimerkki sekä kompleksineliöjuurimerkki

|x|[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Itseisarvon merkintä sekä Euklidisen etäisyyden merkintä

a|b[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jaollisuuden merkintä

a![muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertoman merkintä

T[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Transpoosin merkintä.

Lineaarialgebrassa matriisin transpoosi on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin.

Esimerkiksi:

\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \end{bmatrix}\quad\quad \mbox{ja}\quad\quad 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

~[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todennäköisyyden jakauman merkintä

¬ tai ˜[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Materiaaliyhtenäisyyden merkintä (?) (engl. material equivalency)

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen nimityksen merkintä (?) (engl. definition)

{a,b}[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Joukon sisältämien alkioiden merkintä

{|}[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkioehto (?) (engl. set-builder notation)

{}[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tyhjän joukon merkintä

U[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Unionin merkintä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Leikkauksen merkintä

Δ[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(engl. symmetric difference)

- tai \[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Joukkoerotuksen merkintä

( )[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sulkumerkit

f(X→Y)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktionuoli (?) (engl. function arrow)

f on kuvaus joukosta X joukkoon Y.

o[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhdistetyn funktion merkintä

N[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luonnollisten lukujen merkintä

Z[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kokonaislukujen merkintä

Q[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Rationaalilukujen merkintä

R[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaalilukujen merkintä

C[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompleksilukujen merkintä

K[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaali- tai kompleksiluvun merkintä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Äärettömyyden merkintä

||…||[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(engl. norm) (Pituus origosta)

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lukujonon summan merkintä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lukujonon karteesisen tulon merkintä

′ (derivaatta)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Derivaatan merkintä

∫ (integraalifunktio)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Integraalifunktion merkintä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Osittaisderivaatan merkintä (sekä engl. boundary (topologia))

||[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhdensuuntaisuuden merkintä

/[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(engl. quotient group); (engl. quotient set)

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Likiarvon merkintä sekä isomorfismin merkintä

~[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Saman suuruusluokan merkintä sekä karkean likiarvon merkintä

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]