Suhde

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
x:n ja y:n suhde.

Suhde tarkoittaa matematiikassa kahden luvun tai suureen jakolaskua, jonka tarkoitus on verrata kahta lukua tai suuretta keskenään. Suhde merkitään yleensä näkyviin ohjeeksi, johon vertaamalla voidaan muodostaa uusia, mutta toisiinsa samalla tavalla suhtautuvia, lukuja tai suureta. Joskus suhde on mittaluku eli suhdeluku, jossa edellinen suure mitataan jälkimmäisellä suureella. Kahden luvun a ja b suhde merkitään a : b ja lausutaan "a:n suhde b:hen", ja esimerkiksi silloin 5 : 3 on "viiden suhde kolmeen". Toinen merkintätapa on käyttää jakoviivaa ja esittää suhde lukujen murtolausekkeena tai kokonaislukujen tapauksessa murtolukuna. Silloin

a:b=\frac{a}{b} = k,

missä k on suhdeluku. Suhdeluvulla ei ole mittayksikköä. Suhteessa a on ensimmäinen ja b toinen suure. [1][2][3]

Koska suhteilla on murtolausekkeen rakenne, voidaan niillä laskea samoin kuten murtoluvuilla ja eteenkin laventaminen ja supistaminen ovat mahdollisia. Kun kahden lukuparin suhteita verrataan, voidaan niistä muodostaa yhtäsuuressa tapauksessa yhtälö, jota kutsutaan verrannoksi [1]

\frac{a}{b} = k \and \frac{c}{d} = k \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}.

Suhteen arkikäyttöä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suhteilla voidaan esittää kahden komponentin välisiä suhteitä. Kun mehutiivistettä halutaan sekoittaa veteen juoman valmistamiseksi, voidaan antaa ohjeeksi "sekoita mehua ja vettä suhteessa 1 : 7", jolloin astiaan tyhjennetään yksi lasi tiivistettä ja seitsemän lasia vettä. Myös geometrisiä muotoja voidaan ilmaista suhteilla. Esimerkiksi teräväpiirtotelevisioiden ruutu on eri malleilla eri kokoinen, jolloin ruudun sivujen mittasuhteet eli kuvasuhde ilmoittetaan olevan 16 : 9 (leveys : korkeus).

Merkinnän laajennus liittyy yleensä jako-ongelmiin, jossa voitto, palkkio, riski tai perintö jaetaan useampaan kuin kahteen osaan. Esimerkiksi yhdessä tehdyn työn palkka voidaan jakaa työtuntien suhteessa. Silloin kolme työmiestä jakaa urakkapalkkion esimerkiksi suhteessa 47 : 35 : 12, jolloin kukin saa \tfrac{47}{94}−, \tfrac{35}{94}− ja \tfrac{12}{94}−osan palkkiosta (koska 47 + 35 + 12 = 94). Vedonlyönnissä voittokertoimet ilmaistaan suhteilla. Jos voittokerroin on esimerkiksi 1 : 1,67, pitäisi se vastata voittotodennäköisyyttä \tfrac{1}{1,67}.[2]

Mittakaava on suhteen käyttöä, jossa ilmaistaan kartalla olevien mittojen ja luonnonmittojen vastaavuus. Mittakaava 1 : 50000 tarkoittaa, että kartalla oleva 1 senttimetrin merkki on luonnossa 50000 senttimetrin eli 500 metrin pituinen kohde.

Suhteen matemaattinen käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Historiallisista syistä johtuen tunnetuimmat suhteet liittyvät geometrisiin kuvioihin. Tunnetuin suhde on ympyrän kehän pituuden suhde ympyrän halkaisijaan, jonka suhdeluku on π ≈ 3,14159... eli pii. Se on kaikilla ympyröillä sama. Piin tarkka arvo on askarruttanut ihmisiä tuhansia vuosia.[4]

Yhdenmuotoisissa kuvioissa kuvion muoto on sama, vaikka koko voi olla erisuuri. Kuvioilla kaikkien vastinsivujen pituuksien suhde on aina sama. Suhdelukua voidaan kutsua muutoskertoimeksi, jolla jälkimmäisen kuvion sivun pituudet saadaan alkuperäisen kuvion pituuksista muutoskertoimella kertomalla.[5]

Kolmion kulman puolittaja leikkaa kulman vastaisen sivun osiin, joiden suhde on sama kuin kulman kylkien eli sivujen pituuksien suhde.[6]

Suorakulmaisen kolmion kulmat määräävät sivujen pituudet ja niiden pituudet riippuvat myös kolmion koosta. Yhdenmuotoisten suorakulmaisten kolmioiden sivujen suhteet ovat sen sijaan samat. Siksi on ollut miellekästä taulukoida sivujen suhteet kolmioiden eri kulmille, jotta voidaan laskea sivujen pituuksia erikokoisille kolmioille. Trigonometristen funktioiden määrittämät sivusuhteet ovat geometrian tärkeimpiä arkea helpottavia tuloksia. Esimerkiksi kolmiolle, jonka kateetit merkitään a ja b sekä hypotenuusa c, ja jonka terävin kulma on 35°, sivusuhde (sini) on

k = \sin 35^\circ = \tfrac{a}{c} \approx 0,573576436 \dots .

Tämä sivusuhde on siten sama kaililla suorakulmaisille kolmioille, jonka kulma on 35°.

Kultainen leikkaus.

Janan jakaminen osiin voidaan ilmaista suhteilla. Jakopiste jakaa janan kahteen osaan, joiden pituuksien suhde annetaan tai se selvitetään. Jako voidaan suorittaa samalla tavalla myös luvulle. Alkuperäinen luku jaetaan kahdeksi luvuksi, joiden summa on alkuperäinen luku, ja joiden suhde on annettu suhdeluku. Päinvastoin on toimittu, kun lasketaan lukujen keskiarvo. Silloin keskiarvo m jakaa lukujen välin kahteen yhtäsuureen väliin. Esimerkiksi lukujen 4 ja 6 keskiarvo m saadaan suhteesta [7]

\tfrac{m-4}{6-m} = 1 \Leftrightarrow  m = \tfrac{4+6}{2}=5. [8]

Keskiverto k voidaan määrittää kahden suhteen yhtälöllä eli verrannolla, joka on

\tfrac{k-4}{6-k} = \tfrac{4}{k} \Leftrightarrow  k = \sqrt{4 \cdot 6}=2\sqrt{6}. [8]

Erityinen suhde on jatkuva suhde eli kultainen suhde eli kultainen leikkaus. Siinä luku tai jana jaetaan kahteen osaan a ja b, joiden suhde on sama kuin suuremman luvun a suhde lukujen summaan a+b eli alkuperäiseen lukuun

a:b = (a+b) : a . [9][10][11]

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pythagoraan liitetään monet helleenisen matematiikan keksinnöt, vaikka hän on todennäköisesti omaksunut ne babylonialaisilta matkoiltaan sinne. Samaa koskee suhteiden tutkimusta, joita pythagoralaiset tekivät. Esimerkiksi aritmeettinen−, geometrinen− ja harmoninen keskiarvo on opittu näillä matkoilla, mutta Pythagoras ilmeisesti laajensi keskilukujen "teoriaa" keksimällä siihen 7 muutakin keskilukua käyttäen suhteiden ja verrantojen teoriaa. Juuri lukujen suhteita tutkimalla päädyttiin rationaalilukulaskentoon ja verrantojen teoriaan. Myöhemmin samoja suhteiden teorioita sovellettiin geometriassa. Kreikkalaiset eivät keksineet suhteiden teoriaa itse. Ne tunnettiin todennäköisesti muuallakin kuin Egyptissä ja Kaksoisvirran maassa, vaikka niistä kertovat dokumentit ovat hävinneet eikä asiaa voi enää vahvistaa.[12]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Väisälä KalleGeometria, s. 49-50. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  2. a b Weisstein, Eric W.: Ratio (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Quotient (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Väisälä, Kalle: Geometria, s.57
  5. Väisälä, Kalle: Geometria, s.102
  6. Väisälä, Kalle: Geometria, s.116
  7. Väisälä, Kalle: Geometria, s.112
  8. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s.119
  9. Väisälä, Kalle: Geometria, s.113
  10. Väisälä, Kalle: Geometria, s.128
  11. Weisstein, Eric W.: Golden Ratio (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  12. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II, s. 93−97. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.