Todennäköisyysjakauma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Todennäköisyysjakauma on todennäköisyyslaskennan käsite, jolla kuvataan satunnaismuuttujan todennäköisyyttä saada tietty arvo. Todennäköisyysjakauman määrittelee funktio, joka kuvaa jokaisen reaalilukujen välin todennäköisyydeksi siten, että todennäköisyyden aksioomat täyttyvät. Täsmällisesti määriteltynä se on todennäköisyysmitta, jonka lähtöjoukko on reaalilukujen Borel-joukko.

Jokaisella satunnaismuuttujalla on todennäköisyysjakauma, ja todennäköisyysjakauma sisältää olennaisen tiedon satunnaismuuttujasta. Olkoon X satunnaismuuttuja, jolloin todennäköisyys että se saa arvon väliltä [a,b] on P(a\leq X \leq b).

Kertymä- ja tiheysfunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertymäfunktio F(x) (engl. cumulative distribution function, lyh. CDF) kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman yksikäsitteisesti, ja se on määritelty kaikille reaaliluvuille x. Kertymäfunktio määritellään kaavalla

 F(x) = P(X \leq x).

Kertymäfunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

  • F(x) on ei-vähenevä
  • F(-\infty)=0 ja F(\infty)=1
  • F(x) on oikealta jatkuva


Tiheysfunktio f(x) (engl. probability density function, lyh. PDF) on kertymäfunktion derivaatta. Tiheysfunktio on olemassa, jos kertymäfunktio on aidosti derivoituva. Tällöin tiheysfunktiolle pätee kaava

 F(a) = \int_{-\infty}^a f(x)\,dx.

Tiheysfunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

  • f(x) \ge 0 kaikilla x.
  •  \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.


Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen otosavaruus on numeroituva. Tällöin kertymäfunktio on porrasfunktio eli se koostuu äärellisestä määrästä epäjatkuvuuskohtaa merkitseviä hyppyjä. Diskreetin satunnaismuuttujan tiheysfunktiota vastaa pistetodennäköisyysfunktio P(x) (engl. probability mass function, PMF), joka kertoo diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyden saada arvo x. Jos x ei kuulu otosavaruuteen, sen todennäköisyys on 0.

Todennäköisyysjakaumia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suluissa annetaan esimerkki jakauman tulkinnasta.

Diskreettejä jakaumia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jatkuvia jakaumia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Moniulotteisia jakaumia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]