Todennäköisyysjakauma

Todennäköisyysjakauma on todennäköisyyslaskennan käsite, jolla kuvataan satunnaismuuttujan todennäköisyyttä saada tietty arvo. Todennäköisyysjakauman määrittelee funktio, joka kuvaa jokaisen reaalilukujen välin todennäköisyydeksi siten, että todennäköisyyden aksioomat täyttyvät. Täsmällisesti määriteltynä se on todennäköisyysmitta, jonka lähtöjoukko on reaalilukujen Borel-joukko.

Jokaisella satunnaismuuttujalla on todennäköisyysjakauma, ja todennäköisyysjakauma sisältää olennaisen tiedon satunnaismuuttujasta. Olkoon $X$ satunnaismuuttuja, jolloin todennäköisyys että se saa arvon väliltä $[a,b]$ on $P(a\leq X \leq b)$.

Kertymä- ja tiheysfunktio

Kertymäfunktio $F(x)$ (engl. cumulative distribution function, lyh. CDF) kuvaa satunnaismuuttujan $X$ todennäköisyysjakauman yksikäsitteisesti, ja se on määritelty kaikille reaaliluvuille $x$. Kertymäfunktio määritellään kaavalla

$F(x) = P(X \leq x).$

Tiheysfunktio $f(x)$ (engl. probability density function, lyh. PDF) on kertymäfunktion derivaatta. Tiheysfunktio on olemassa, jos kertymäfunktio on aidosti derivoituva. Tällöin on voimassa kaava

$F(a) = \int_{-\infty}^a f(x)\,dx.$

Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen otosavaruus on numeroituva. Tällöin kertymäfunktio on porrasfunktio eli se koostuu äärellisestä määrästä epäjatkuvuuskohtaa merkitseviä hyppyjä. Diskreetin satunnaismuuttujan tiheysfunktiota vastaa pistetodennäköisyysfunktio $P(x)$ (engl. probability mass function, PMF), joka kertoo diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyden saada arvo $x$. Jos $x$ ei kuulu otosavaruuteen, sen todennäköisyys arvon $0$.

Kertymäfunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

• $F(x)$ on ei-vähenevä
• $F(-\infty)=0$ ja $F(\infty)=1$
• $F(x)$ on oikealta jatkuva

Todennäköisyysjakaumia

Suluissa annetaan esimerkki jakauman tulkinnasta.

Diskreettejä jakaumia

Pääartikkeli: Diskreetti todennäköisyysjakauma

• Bernoullin jakauma (dikotominen koe)
• Binomijakauma (toistokoe)
• Geometrinen jakauma (toistokokeen ensimmäisen onnistumisen kerta)
• Hypergeometrinen jakauma (otanta ilman takaisinpanoa)
• Negatiivinen binomijakauma (toistokokeen mielivaltaisen monennen onnistumisen kerta)
• Poissonin jakauma (Poisson-prosessin insidenssien lukumäärä)

Jatkuvia jakaumia

• Beta-jakauma
• Cauchy-jakauma
• Eksponenttijakauma (muistinmenetysominaisuus)
• F-jakauma
• Gamma-jakauma (Poisson-prosessin insidenssien odotusajat)
• Khii toiseen -jakauma (riippumattomien normaalijakautuneiden muuttujien neliöiden summa)
• Log-normaalijakauma
• Normaalijakauma (keskeinen raja-arvolause)
• Pareto-jakauma
• Studentin t-jakauma
• Tasajakauma (pyöristysvirhe)
• Weibull-jakauma

Moniulotteisia jakaumia

• Dirichlet-jakauma (jatkuva, multinomijakauman posteriorijakauma)
• Moniulotteinen Studentin t-jakauma
• Multinomijakauma (diskreetti, toisensa poissulkevien tapahtumien frekvenssit toistokokeessa)
• Multinormaalijakauma

Todennäköisyysjakaumat