Luettelo matemaattisista merkeistä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Seuraavassa taulukossa on matematiikassa usein käytettyjä symboleja.

Matematiikan perussymbolit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symboli Nimi Selitys Esimerkkejä
Luetaan
Kategoria
=
yhtäsuuruus x = y tarkoittaa, että x ja y esittävät samaa asiaa tai arvoa. 1 + 1 = 2
on yhtäsuuri kuin
kaikkialla


<>

!=
erisuuruus x ≠ y tarkoittaa, että x ja y eivät esitä samaa asiaa tai arvoa.

(Symboleita != ja <> käytetään lähinnä tietojenkäsittelytieteessä.)
1 ≠ 2
ei ole yhtäsuuri kuin, on erisuuri kuin
kaikkialla
<

>



aito epäyhtälö x < y tarkoittaa, että x on pienempi kuin y.

x > y tarkoittaa, että x on suurempi kuin y.

x ≪ y tarkoittaa, että x on paljon pienempi kuin y.

x ≫ y tarkoittaa, että x on paljon suurempi kuin y.
3 < 4
5 > 4.

0.003 ≪ 1000000

on pienempi kuin, on suurempi kuin, on paljon pienempi kuin, on paljon suurempi kuin
järjestysteoria


epäyhtälö x ≤ y tarkoittaa, että x on pienempi tai yhtäsuuri kuin y.

x ≥ y tarkoittaa, että x on suurempi tai yhtäsuuri kuin y.
3 ≤ 4 ja 5 ≤ 5
5 ≥ 4 ja 5 ≥ 5
on pienempi tai yhtäsuuri kuin, on suurempi tai yhtäsuuri kuin
järjestysteoria
verrannollisuus yx tarkoittaa, että y = kx jollakin vakiolla k. jos y = 2x, on yx
on verrannollinen
kaikkialla
+
yhteenlasku 4 + 6 tarkoittaa lukujen 4 ja 6 summaa. 2 + 7 = 9
plus
aritmetiikka
erillinen yhdiste A1 + A2 tarkoittaa joukkojen A1 ja A2 erillistä yhdistettä. A1 = {1, 2, 3, 4} ∧ A2 = {2, 4, 5, 7} ⇒
A1 + A2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)}
joukkojen ... ja ... erillinen yhdiste
joukko-oppi
vähennyslasku 9 − 4 tarkoittaa 4 vähenettynä luvusta 9. 8 − 3 = 5
miinus
aritmetiikka
negatiivinen etumerkki −3 tarkoittaa luvun 3 vastalukua. −(−5) = 5
vastaluku ; miinus
aritmetiikka
joukko-opillinen komplementti A − B tarkoittaa niitä A:n alkioita, jotka eivät kuulu joukkoon B. {1,2,4} − {1,3,4}  =  {2}
miinus.
joukko-oppi
×
kertolasku 3 × 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 × 8 = 56
kertaa
aritmetiikka
karteesinen tulo X×Y tarkoittaa kaikkia järjestettyjen parien joukkoa, joiden ensimmäinen alkio kuuluu X:ään ja toinen Y:hyn. {1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
Joukkojen ... ja ... karteesinen tulo; joukkojen ... ja ... suora tulo
joukko-oppi
ristitulo u × v tarkoittaa vektorien u ja v ristituloa. (1,2,5) × (3,4,−1) =
(−22, 16, − 2)
risti
vektorilaskenta
·
kertolasku 3 · 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 · 8 = 56
kertaa
aritmetiikka
pistetulo u · v tarkoittaa vektorien u ja v pistetulos (1,2,5) · (3,4,−1) = 6
piste
vektorilaskenta
÷

jakolasku 6 ÷ 3 tai 6 ⁄ 3 tarkoittaa 6 jaettuna 3:lla 2 ÷ 4 = .5

12 ⁄ 4 = 3
jaettuna
aritmetiikka
±
plus-miinus 6 ± 3 tarkoittaa sekä 6 + 3, että 6 - 3. yhtälöllä x = 5 ± √4, on kaksi ratkaisua, x = 7 tai x = 3.
plus tai miinus
aritmetiikka
plus-miinus 10 ± 2 tai yhtäpitävästi 10 ± 20% tarkoittaa väliä 10 − 2=8:sta 10 + 2=12:een. Jos a = 100 ± 1 mm, on a ≥ 99 mm ja ≤ 101 mm.
plus tai miinus
mittaus
miinus-plus 6 ± (3 ∓ 5) tarkoittaa sekä 6 + (3 - 5), että 6 - (3 + 5). cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y).
miinus tai plus
aritmetiikka
neliöjuuri x tarkoittaa epänegatiivista lukua, jonka neliö on x. √4 = 2
neliöjuuren päähaara, neliöjuuri
reaaliluvut
kompleksinen neliöjuuri jos z = r exp(iφ) esitetään napakoordinaateissa, missä -π < φ ≤ π, on √z = √r exp(i φ/2). √(-1) = i
kompleksinen neliöjuuri  …

neliöjuuri
kompleksiluvut
|…|
itseisarvo |x| tarkoittaa reaaliakselilla tai kompleksitasolla lukujen x ja 0 välistä etäisyyttä. |3| = 3

|–5| = |5|

i | = 1

| 3 + 4i | = 5
itseisarvo
luvut
Euklidinen etäisyys |x – y| tarkoittaa x:n ja y:n euklidista etäisyyttä. Jos x = (1,1) ja y = (4,5),
|x – y| = √([1–4]2 + [1–5]2) = 5
euklidinen etäisyys, euklidinen normi
geometria
Determinantti |A| tarkoittaa neliömatriisin A determinanttia \begin{vmatrix}
 1&2 \\
 2&4 \\
\end{vmatrix} = 0
determinantti
Matriisilaskenta
|
jakaa Yksi pystysuora viiva tarkoittaa tasan jakamista.
a|b tarkoiaa, että a jakaa b:n.
Koska 15 = 3×5, on voimassa 3|15 ja 5|15.
jakaa
lukuteoria
!
kertoma n ! on tulo 1 × 2× ... × n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
kertoma
kombinatoriikka
T
transpoosi Vaihtaa rivit ja sarakkeet keskenään A_{ij} = (A^T)_{ji}
transpoosi
matriisilaskenta
~
todennäköisyysjakaumat X ~ D, tarkoittaa satunnaismuuttujan X jakauma on D. X ~ N(0,1), on standardinormaalijakauma
on jakauma
tilastotiede
Riviekvivalenssi A~B tarkoittaa, että B voidaan saada A:stä alkeisrivitoimituksella. \begin{bmatrix}
 1&2 \\
 2&4 \\
\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}
 1&2 \\
 0&0 \\
\end{bmatrix}
on riviekvivalentti
Matriisilaskenta




implikaatio AB tarkoittaa, että jos A on tosi, on myös B tosi. Jos A on epätosi, B:stä ei voida sanoa tämän perusteella mitään.

→ voi tarkoittaa samaa kuin ⇒ tai sillä voi olla kohdassa funktio selitetty merkitys.

⊃ voi tarkoittaa samaa kuin ⇒, tai se voi tarkoittaa yläluokkaa.
x = 2  ⇒  x2 = 4 on totta, mutta x2 = 4   ⇒  x = 2 on epätotta, koska x voi olla myös −2.
seuraa; jos … niin
propositionaalilogiikka, Heytingin algebra


ekvivalenssi A ⇔ B tarkoittaa, että A on tosi jos ja vain jos B on tosi x + 5 = y +2  ⇔  x + 3 = y
jos ja vain jos, joss
propositionaalilogiikka
¬

˜
looginen negaatio Väite ¬A on tosi jos ja vain jos A on epätosi.

¬(¬A) ⇔ A
x ≠ y  ⇔  ¬(x =  y)
ei
propositiologiikka
looginen konjuktio tai kohtaa lattiisissa Väite AB on totta jos A ja B ovat molemmat totta. Muutoin AB on epätosi.

Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∧ B(x) tarkoittaa min(A(x), B(x)).
n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3 kun n on luonnollinen luku.
ja; min
propositiologiikka, lattiisiteoria
looginen disjunktio tai yhdiste lattiisissa Väite AB on totta jos ainakin toinen A tai B on totta, epätotta jos molemmat epätosia.

Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∨ B(x) tarkoittaa max(A(x), B(x)).
n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 kun n on luonnollinen luku.
tai; max
propositiologiikka, lattiisiteoria



eksklusiivinen tai Väite AB on tosi kun joko A tai B, mutta ei molemmat, ovat tosia. AB tarkoittaa samaa asiaa. A) ⊕ A on aina tosi, AA on aina epätosi.
xor
propositionaalilogiikka, Boolen algebra
suora summa Suora summa on tapa yhdistää useita objekteja yhdeksi yleiseksi objektiksi. Suoran summan merkintä on ⊕, merkintää ⊻ käytetään vain logiikassa.

Vektoriavaruuksille U, V ja W pätee:
U = VW ⇔ (U = V + W) ∧ (VW = )
suora summa
abstrakti algebra
universaalikvanttori ∀ x: P(x) tarkoittaa, että P(x) on voimassa kaikilla x. ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n.
kaikilla, jokaisella
predikaattilogiikka
olemassaolokvanttori ∃ x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa ainakin yksi x jolle P(x) on tosi. ∃ n ∈ ℕ: n on parillinen.
on olemassa
predikaattilogiikka
∃!
yksikäsitteisyyskvanttori ∃! x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa täsmälleen yksi x jolle P(x) on tosi. ∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n.
on olemassa täsmälleen yksi
predikaattilogiikka
:=



:⇔
määritelmä x := y tai x ≡ y tarkoittaa, että x on määritelmän mukaan y

(jotkut käyttävät merkkiäkongruenssi).

P :⇔ Q tarkoittaa, että P on määritelmän mukaan loogisesti ekvivalentti Q:n kanssa.
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))

A xor B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
on määritelmän mukaan
kaikkialla
yhdenmuotoisuus △ABC ≅ △DEF tarkoittaa, että kolmio ABC on yhdenmuotoinen kolmion DEF kanssa.
on yhdenmuotoinen
geometria
kongruenssirelaatio a ≡ b (mod n) tarkoittaa, että a − b on jaollinen n:llä (0\leq b<n) 13 ≡ 3 (mod 5)
... on kongruentti ... modulo ...
modulaariaritmetiikka
{ , }
joukkosulkeet {a,b,c} tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat a, b ja c. ℕ = { 1, 2, 3, …}
joukko …
joukko-oppi
{ : }

{ | }
joukko ja ehto mitkä alkiot kuuluvat joukkoon {x : P(x)} tarkoittaa niitä x joille P(x) on tosi. {x | P(x)} on sama kuin{x : P(x)}. {n ∈ ℕ : n2 < 20} = { 1, 2, 3, 4}
joukko … jolle
joukko-oppi


{ }
tyhjä joukko tarkoitta joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota. { } tarkoittaa samaa. {n ∈ ℕ : 1 < n2 < 4} =
tyhjä joukko
joukko-oppi


joukkoon kuuluvuus relaatio a ∈ S tarkoittaa, että a on S:n alkio S; a ∉ S tarkoittaa, että a ei kuulu S:ään. (1/2)−1 ∈ ℕ

2−1 ∉ ℕ
kuuluu joukkoon, ei kuulu joukkoon
kaikkialla, joukko-oppi


osajoukko (subset) A ⊆ B tarkoittaa, että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio.

(aito osajoukko) A ⊂ B tarkoittaa A ⊆ B mutta A ≠ B.

(Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊂ ja ⊆ välillä.)
(A ∩ B) ⊆ A

ℕ ⊂ ℚ

ℚ ⊂ ℝ
on osajoukko
joukko-oppi


yläjoukko A ⊇ B tarkoittaa, että jokainen B:n alkio on myös A:n alkio.

A ⊃ B tarkoittaa, että A ⊇ B mutta A ≠ B.

(Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊃ ja ⊇ välillä.)
(A ∪ B) ⊇ B

ℝ ⊃ ℚ
on yläjoukko
joukko-oppi
joukko-opillinen yhdiste eksklusiivinen A ∪ B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot tai kaikki B:n alkiot, mutta ei molempia.
"A tai B, mutta ei molempia."

inklusiivinen A ∪ B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot, kaikki B:n alkiot tai kaikki molempien joukkojen alkiot.
"A tai B tai molemmat".
A ⊆ B  ⇔  (A ∪ B) = B (inclusive)
joukkojen … ja … yhdiste

joukko-oppi
joukko-opillinen leikkaus A ∩ B koostuu niistä alkioista, jotka sisältyvät sekä A:han että B:hen. {x ∈ ℝ : x2 = 1} ∩ ℕ = {1}
leikkaa
joukko-oppi
\Delta
symmetrinen erotus  A\Delta B tarkoittaa joukkoa, jonka kukin alkio kuuluu täsmälleen toiseen joukoista A ja B. {1,5,6,8} \Delta {2,5,8} = {1,2,6}
symmetrinen erotus
joukko-oppi
joukko-opillinen komplementti A ∖ B tarkoittaa joukkoa, joka koostuu niistä A:n alkioista, jotka eivät kuulu B:hen. {1,2,3,4} ∖ {3,4,5,6} = {1,2}
miinus
joukko-oppi
( )
funktion parametrit f(x) tarkoittaa funktion f arvoa kohdassa x. Jos f(x) := x2, on f(3) = 32 = 9.
joukko-oppi
Laskujärjestyksen muuttaminen Sulkeet lasketaan järjestyksessä sisimmästä uloinpaan. (8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4.
sulkeet
kaikkialla
f:XY
funktionuoli fX → Y tarkoittaa funktiota f, joka kuvaa joukon X joukolle Y. Määritellään f: ℤ → ℕ asettamalla f(x) := x2.
joukolta … joukolle …
joukko-oppi,tyyppiteoria
o
yhdistetty funktio fog on funktio, jolle (fog)(x) = f(g(x)). jos f(x) := 2x, ja g(x) := x + 3, on (fog)(x) = 2(x + 3).
yhdiste
joukko-oppi


N
Luonnolliset luvut N tarkoittaa määritelmästä riippuen joukkoa { 1, 2, 3, ...} tai joukkoa { 0, 1, 2, ...}. ℕ = {|a| : a ∈ ℤ, a ≠
N
luvut


Z
kokonaisluvut ℤ on joukko {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ja ℤ+ on joukko {1, 2, 3, ...} . ℤ = {p, -p : p ∈ ℕ} ∪ {0}
Z
luvut


Q
rationaaliluvut ℚ tarkoittaa joukkoa {p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℤ+}. 3.14000... ∈ ℚ

π ∉ ℚ
Q
luvut


R
reaaliluvut ℝ tarkoittaa reaalilukujen joukkoa. π ∈ ℝ

√(−1) ∉ ℝ
R
luvut


C
kompleksiluvut ℂ means {a + b i : a,b ∈ ℝ}. i = √(−1) ∈ ℂ
C
luvut
mielivaltainen vakio C voi olla mikä tahansa luku, jota ei ole yleensä kiinnitetty. Esiintyy usein integraaleja laskettaessa. jos f(x) = 6x² + 4x, on F(x) = 2x³ + 2x² + C, missä F'(x) = f(x)
C
integraalilaskenta
𝕂

K
reaali- tai kompleksilukujen joukko K tarkoittaa usein, että tulos on voimassa sekä reaali- että kompleksiluvuille.
x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{K}

koska

x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{R}

ja

x^2\in\mathbb{C}\,\forall x\in \mathbb{C}.
K
lineaarialgebra
ääretön ∞ on laajennetun reaaliakselin alkio, joka on suurempi kuin mikä tahansa reaaliluku. Esiintyy usein raja-arvoja laskettaessa. limx→0 1/|x| = ∞
ääretön
luvut
||…||
normi || x || on normiavaruuden alkion x normi. || x  + y || ≤  || x ||  +  || y ||
normi

pituus
lineaarialgebra
summaus

\sum_{k=1}^{n}{a_k} tarkoittaa a1 + a2 + … + an.

\sum_{k=1}^{4}{k^2} = 12 + 22 + 32 + 42 

= 1 + 4 + 9 + 16 = 30
summa yli …
aritmetiikka
tulo

\prod_{k=1}^na_k tarkoittaa tuloa a1a2···an.

\prod_{k=1}^4(k+2) = (1+2)(2+2)(3+2)(4+2)

= 3 × 4 × 5 × 6 = 360
tulo yli …
aritmetiikka
Karteesinen tulo

\prod_{i=0}^{n}{Y_i} tarkoittaa kaikkia (n+1)-jonoja

(y0, …, yn).

\prod_{n=1}^{3}{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R} = \mathbb{R}^3

karteesinen tulo, suora tulo
joukko-oppi
erillinen yhdiste
erillinen yhdiste
kategoriateoria


derivaatta f ′(x) on funktion f derivaatta kohdassa x, eli f:n tangentin kulmakerroin kohdassa x. Siis \dot{x}(t)=\frac{\partial}{\partial t}x(t). Jos f(x) := x2, on f ′(x) = 2x
… pilkku

derivaatta
differentiaali- ja integraalilaskenta
määräämätön integraali tai antiderivaatta ∫ f(x) dx tarkoittaa funktiota, jonka derivaatta on f. x2 dx = x3/3 + C
määräämätön integraali

antiderivaatta
differentiaali- ja integraalilaskenta
määrätty integraali ab f(x) dx tarkoittaa etumerkillä varustettua funktion kuvaajan ja x-akselin rajaamaa pinta-alaa välillä a≤x≤b. 0b x<;sup>2  dx = b3/3;
integraali
differentiaali- ja integraalilaskenta
gradientti f (x1, …, xn) on f:n osittaisderivaatoista muodostettu vektori (∂f / ∂x1, …, ∂f / ∂xn). Jos f (x,y,z) := 3xy + z², on ∇f = (3y, 3x, 2z)
del, nabla, gradientti
differentiaali- ja integraalilaskenta
osittaisderivaatta Jos f (x1, …, xn), on ∂f/∂xi f:n derivaatta muuttujan xi suhteen. Muita muuttujia käsitellään derivoitaessa vakioina. Jos f(x,y) := x2y, on ∂f/∂x = 2xy
osittaisderivaatta, d
differentiaali- ja integraalilaskenta
reuna M tarkoittaa M:n reunaa ∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| = 2}
reuna
topologia
kohtisuoruus xy tarkoittaa, että x on kohtisuorassa y:hyn nähden tai yleisemmin, x on ortogonaalinen y:n kanssa. Jos lm ja mn, on l || n.
on kohtisuorassa
geometria
pienin alkio x = ⊥ tarkoittaa, että x on pienin alkio. x : x ∧ ⊥ = ⊥
pienin alkio
lattiisiteoria
||
yhdensuuntaisuus x || y tarkoittaa, että x ja y ovat yhdensuuntaisia. Jos l || m ja mn, on ln.
on yhdensuuntainen
geometria
seuraa AB tarkoittaa, että lauseesta A seuraa lause B, eli jokaisessa mallissa, jossa A on tosi, on myös B tosi. AA ∨ ¬A
seuraa
malliteoria
johtopäätös xy tarkoittaa, että y on johdettu x:stä. AB ⊢ ¬B → ¬A
on johdettu
propositionaalilogiikka, predikaattilogiikka
normaali aliryhmä NG tarkoittaa, että N on G:n normaali aliryhmä. Z(G) ◅ G
on normaali aliryhmä
ryhmäteoria
/
tekijäryhmä G/H tarkoittaa tekijäryhmää G modulo sen normaali aliryhmä H. {0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}
mod
ryhmäteoria
tekijäjoukko A/~ tarkoittaa kaikkien ~:n ekvivalenssiluokkien joukkoa A:ssa. Jos määritellään ~ asettamalla x~y ⇔ x-y∈Z, on
R/~ = {{x+n : nZ} : x ∈ (0,1]}
mod
joukko-oppi
isomorfismi GH tarkoittaa, että ryhmä G on isomorfinen ryhmän H kanssa Q / {1, −1} ≈ V,
missä Q on kvaternioryhmä ja V on Kleinin neliryhmä.
on isomorfinen
ryhmäteoria
likimäärin yhtäsuuri xy tarkoittaa, että x on likimäärin yhtäsuuri kuin y π ≈ 3.14159
on likimäärin yhtäsuuri kuin
kaikkialla
~
samaa kertaluokkaa m ~ n, tarkoittaa, että suureet m ja n on samaa kertaluokkaa. 2 ~ 5

8 × 9 ~ 100

, mutta π2 ≈ 10
suunnilleen yhtäpaljon

likimääräinen arvio
Approksimointiteoria


〈,〉

( | )

< , >

·

:
sisätulo x,y〉 tarkoittaa x:n ja y:n sisätuloa, joka on määrätty sisätuloavaruudessa.

Tavallisille vektoreille pistetulon merkintä on tavallisempi: x·y.
Matriiseille voidaan käyttää piste-notaatiota.

Kahden vektorin x = (2, 3) ja y = (−1, 5) pistetulo on:
〈x, y〉 = 2×−1 + 3×5 = 13

A:B = \sum_{i,j} A_{ij}B_{ij}

sisätulo
Vektorilaskenta
tensoritulo VU tarkoittaa V:n ja U:n tensorituloa. {1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} =
{{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}}
tensoritulo
lineaarialgebra
*
konvoluutio f * g tarkoittaa f:n ja g:n konvoluutiota. (f  * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau
konvoluutio
\bar{x}
keskiarvo \bar{x} tarkoittaa keskiarvoa. x = \{1,2,3,4,5\}; \bar{x} = 3.
yläviiva
tilastotiede
\triangleq
delta yhtäsuuruus \triangleq tarkoittaa yhtäsuuruutta määritelmän perusteella. Kun käytetään merkkiä \triangleq, yhtäsuuruus ei ole yleisessä tapauksessa voimassa, mutta ottaen huomioon tapauksessa vallitsevat oletukset, on yhtäsuuruus voimassa. p(x_1,x_2,...,x_n) \triangleq \prod_{i=1}^n p(x_i | x_{\pi_i}).
yhtäsuuruus määritelmän perusteella
kaikkialla

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]