Kosinilause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmio, jonka symbolit ovat samat kuin viereisessä kaavassa

Kosinilause on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan.

Kosinilauseessa \gamma on kolmion kulma, a ja b ovat kulman viereisten sivujen pituudet ja c vastakkaisen sivun pituus. Kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen, kun \gamma on suorakulma.


c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\,\cos\gamma

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä

Oletetaan, että kulma \gamma on terävä. Olkoon h:n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta b sivujen a ja c yhtymään. Tällöin h voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:


\begin{cases}
h^2 = a^2 - (b-u)^2 \\
h^2 = c^2 - u^2
\end{cases}

Tästä saadaan c^2 - u^2 = a^2 - (b-u)^2

Yhtälöstä voidaan sievennyksien jälkeen ratkaista u:


\begin{align}
c^2 - u^2 &= a^2 - (b^2 - 2bu + u^2) \\
u &= \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}
\end{align}

Kulman \gamma kosini on kuvion mukaan


\begin{align}
\cos(\gamma) & = \frac{b - u}{a} = \frac{\displaystyle \frac{2b^2}{2b} - \displaystyle \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}}{a} \\
& = \frac{2b^2 -b^2 + a^2 - c^2}{2ab} \\
& = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\end{align}

Yhtälö saadaan muotoon 2ab\,\cos(\gamma) = a^2 + b^2 - c^2.

Todistus sujuu samoin, jos kulma \gamma on tylppä.

Kosinilause ja vektorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin erotuksen pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Ensimmäisen kuvan merkinnöin ja pistetulon perusominaisuuksia hyväksi käyttäen saadaan:


\begin{align}
c^2 &= |\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}|^2 \\
&= (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})\cdot(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) \\
&= \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA} = a^2 + b^2 - 2ab\,\cos\gamma
\end{align}

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]