Kosinilause

Wikipedia

Kolmio, jonka symbolit ovat samat kuin viereisessä kaavassa

Kosinilause on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan. Kosinilauseen sisällön ilmaisee kaava

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$ ,

missä $γ$ on kolmion jokin kulma, $a$ ja $b$ sen viereisten sivujen pituudet, ja $c$ vastakkaisen sivun pituus.

Jos $γ$ on suora kulma, on $cosγ = 0$ , jolloin kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen.

[muokkaa] Todistus

Olkoon $C D$ kolmion $A B C$ kärjestä $C$ piirretty korkeusjana. Selvästi $c = b cosα + a cosβ$ (myös silloin, kun jompikumpi kulmista $α$ tai $β$ on tylppä). Sinilauseen mukaan $b sinα = a sinβ$ . Siis $c 2 = c 2 + 0 2 = (b cosα + a cosβ) 2 + (b sinα - a sinβ) 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) + a 2 (cos 2 β + sin 2 β) + 2 a b (cosαcosβ - sinαsinβ) = a 2 + b 2 + 2 a b cos(α + β) = a 2 + b 2 - 2 a b cosγ.$ Tässä käytettiin hyväksi kosinin yhteenlaskukaavaa ja sitä, että $\cos(\alpha+\beta)=\cos(180^{\circ}-\gamma)=-\cos\gamma$ .

[muokkaa] Kosinilause ja vektorit

Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin summan pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Koska vektorien $\overrightarrow{AC}$ ja $\overrightarrow{CB}$ välinen kulma on $180^{\circ}-\gamma$ , niin $c^2=|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}|^2=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$ $=b^2+a^2+2ab\cos(180^{\circ}-\gamma)=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ .

[muokkaa] Katso myös

Kosinilause

Wikipedia

[muokkaa] Todistus

[muokkaa] Kosinilause ja vektorit

[muokkaa] Katso myös

Näkymät

Henkilökohtaiset työkalut

Haku

Valikko

Osallistuminen

Työkalut

Muilla kielillä