Kosinilause

Kolmio, jonka symbolit ovat samat kuin viereisessä kaavassa

Kosinilause on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan.

Kosinilauseessa $\gamma$ on kolmion kulma, $a$ ja $b$ ovat kulman viereisten sivujen pituudet ja $c$ vastakkaisen sivun pituus. Kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen, kun $\gamma$ on suorakulma.

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\,\cos\gamma$

Todistus

Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä

Oletetaan, että kulma $\gamma$ on terävä. Olkoon h:n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta b sivujen a ja c yhtymään. Tällöin h voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:

$\begin{cases} h^2 = a^2 - (b-u)^2 \\ h^2 = c^2 - u^2 \end{cases}$

Tästä saadaan $c^2 - u^2 = a^2 - (b-u)^2$

Yhtälöstä voidaan sievennyksien jälkeen ratkaista $u$:

$\begin{align} c^2 - u^2 &= a^2 - (b^2 - 2bu + u^2) \\ u &= \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b} \end{align}$

Kulman $\gamma$ kosini on kuvion mukaan

$\begin{align} \cos(\gamma) & = \frac{b - u}{a} = \frac{\displaystyle \frac{2b^2}{2b} - \displaystyle \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}}{a} \\ & = \frac{2b^2 -b^2 + a^2 - c^2}{2ab} \\ & = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{align}$

Yhtälö saadaan muotoon $2ab\,\cos(\gamma) = a^2 + b^2 - c^2$.

Todistus sujuu samoin, jos kulma $\gamma$ on tylppä.

Kosinilause ja vektorit

Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin erotuksen pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Ensimmäisen kuvan merkinnöin ja pistetulon perusominaisuuksia hyväksi käyttäen saadaan:

$\begin{align} c^2 &= |\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}|^2 \\ &= (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})\cdot(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) \\ &= \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA} = a^2 + b^2 - 2ab\,\cos\gamma \end{align}$

Katso myös

• Sinilause
• Tangenttilause

Aiheesta muualla

• Opetusvideoita aiheesta Opetus.tv-sivustolla