Sinilause

Sinilause on trigonometrian tulos, jonka avulla voi määrittää kolmion sivun pituuden tai kulman suuruuden silloin, kun kolmiosta tunnetaan jokin pari (sivu ja kulma) vastakkaisia osia.

Jos kolmion $ABC$ kulmat ovat $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sivut ovat $a$, $b$, ja $c$ ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on $R$, on voimassa

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$.

Sinilauseen todistamiseksi piirretään kolmion $ABC$ ympäri ympyrä ja siihen halkaisija $BA'$. Kehäkulmalauseen nojalla $\angle BAC=\angle BA'C=\alpha$. Koska $BA'$ on ympyrän halkaisija, $\angle BCA'=90^{\circ }$ (Thaleen lause). Suorakulmaisesta kolmiosta $A'BC$ luetaan $a=2R\sin(\angle BA'C)=2R\sin \alpha$ eli

${\frac {a}{\sin \alpha }}=2R$.

Samoin saadaan kolmion kahta muuta sivua ja kulmaa koskeva yhtälö.

Sinilauseeseen perustuu kolmiomittaus. Jos pisteiden $B$ ja $C$ välinen etäisyys ja kulmat $\angle CBA=\beta$ sekä $\angle ACB=\gamma$ on mitattu, kulma $\angle BAC=\alpha$ voidaan laskea kolmion kulmasumman perusteella: $\alpha =180^{\circ }-(\beta +\gamma )$. Pisteen $A$ etäisyydet pisteistä $B$ ja $C$ ovat nyt

$AB={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha }}\cdot BC$ ja $AC={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}\cdot BC$.

Pallokolmioille sinilause pätee muodossa

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}$,

missä $A$, $B$ ja $C$ ovat pallokolmion kulmat ja $a$, $b$ ja $c$ sen (kulmamitoissa ilmaistut) sivut.

Katso myös

• Kosinilause
• Tangenttilause
• Kotangenttilause

Aiheesta muualla

• Opetushallitus, etälukio: Sinilause (Arkistoitu – Internet Archive)