Sinilause

Wikipedia

Sinilause on trigonometrian tulos, jonka avulla voi määrittää kolmion sivun pituuden tai kulman suuruuden silloin, kun kolmiosta tunnetaan jokin pari (sivu ja kulma) vastakkaisia osia.

Jos kolmion $A B C$ kulmat ovat $α$ , $β$ , $γ$ , sivut ovat $a$ , $b$ , ja $c$ ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on $R$ , on voimassa

$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R$ .

Sinilauseen todistamiseksi piirretään kolmion $A B C$ ympäri ympyrä ja siihen halkaisija $B A'$ . Kehäkulmalauseen nojalla $\angle BAC=\angle BA'C=\alpha$ . Koska $B A'$ on ympyrän halkaisija, $\angle BCA'=90^{\circ}$ (Thaleen lause). Suorakulmaisesta kolmiosta $A' B C$ luetaan $a=2R\sin(\angle BA'C)=2R\sin\alpha$ eli

$\frac{a}{\sin\alpha}=2R$ .

Samoin saadaan kolmion kahta muuta sivua ja kulmaa koskeva yhtälö.

Sinilauseeseen perustuu kolmiomittaus. Jos pisteiden $B$ ja $C$ välinen etäisyys ja kulmat $\angle ABC=\beta$ sekä $\angle BCA=\gamma$ on mitattu, kulma $\angle BAC=\alpha$ voidaan laskea kolmion kulmasumman perusteella: $\alpha=180^{\circ}-(\beta+\gamma)$ . Pisteen $A$ etäisyydet pisteistä $B$ ja $C$ ovat nyt