Sinilause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Sinilause1.jpg

Sinilause on trigonometrian tulos, jonka avulla voi määrittää kolmion sivun pituuden tai kulman suuruuden silloin, kun kolmiosta tunnetaan jokin pari (sivu ja kulma) vastakkaisia osia.

Jos kolmion ABC kulmat ovat \alpha, \beta, \gamma, sivut ovat a, b, ja c ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on R, on voimassa

\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R.

Sinilauseen todistamiseksi piirretään kolmion ABC ympäri ympyrä ja siihen halkaisija BA'. Kehäkulmalauseen nojalla \angle BAC=\angle BA'C=\alpha. Koska BA' on ympyrän halkaisija, \angle BCA'=90^{\circ} (Thaleen lause). Suorakulmaisesta kolmiosta A'BC luetaan a=2R\sin(\angle BA'C)=2R\sin\alpha eli

\frac{a}{\sin\alpha}=2R.

Samoin saadaan kolmion kahta muuta sivua ja kulmaa koskeva yhtälö.

Sinilauseeseen perustuu kolmiomittaus. Jos pisteiden B ja C välinen etäisyys ja kulmat \angle ABC=\beta sekä \angle BCA=\gamma on mitattu, kulma \angle BAC=\alpha voidaan laskea kolmion kulmasumman perusteella: \alpha=180^{\circ}-(\beta+\gamma). Pisteen A etäisyydet pisteistä B ja C ovat nyt

AB=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\cdot BC ja AC=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot BC.

Pallokolmioille sinilause pätee muodossa

\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C},

missä A, B ja C ovat pallokolmion kulmat ja a, b ja c sen (kulmamitoissa ilmaistut) sivut.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]