Sinilause

Sinilause on trigonometrian tulos, jonka avulla voi määrittää kolmion sivun pituuden tai kulman suuruuden silloin, kun kolmiosta tunnetaan jokin pari (sivu ja kulma) vastakkaisia osia.

Jos kolmion $ABC$ kulmat ovat $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sivut ovat $a$, $b$, ja $c$ ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on $R$, on voimassa

$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R$.

Sinilauseen todistamiseksi piirretään kolmion $ABC$ ympäri ympyrä ja siihen halkaisija $BA'$. Kehäkulmalauseen nojalla $\angle BAC=\angle BA'C=\alpha$. Koska $BA'$ on ympyrän halkaisija, $\angle BCA'=90^{\circ}$ (Thaleen lause). Suorakulmaisesta kolmiosta $A'BC$ luetaan $a=2R\sin(\angle BA'C)=2R\sin\alpha$ eli

$\frac{a}{\sin\alpha}=2R$.

Samoin saadaan kolmion kahta muuta sivua ja kulmaa koskeva yhtälö.

Sinilauseeseen perustuu kolmiomittaus. Jos pisteiden $B$ ja $C$ välinen etäisyys ja kulmat $\angle ABC=\beta$ sekä $\angle BCA=\gamma$ on mitattu, kulma $\angle BAC=\alpha$ voidaan laskea kolmion kulmasumman perusteella: $\alpha=180^{\circ}-(\beta+\gamma)$. Pisteen $A$ etäisyydet pisteistä $B$ ja $C$ ovat nyt

$AB=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\cdot BC$ ja $AC=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot BC$.

Pallokolmioille sinilause pätee muodossa

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$,

missä $A$, $B$ ja $C$ ovat pallokolmion kulmat ja $a$, $b$ ja $c$ sen (kulmamitoissa ilmaistut) sivut.

Katso myös

• Kosinilause
• Tangenttilause