Pallotrigonometria

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eräs pallokolmio. Kulmat a, b ja c vastaavat kolmion sivuja ja C on sivun c vastainen kärkikulma. Vastaavalla tavalla kärjessä v on kulma B ja kärjessä w on kulma A.

Pallotrigonometria tarkoittaa kolmiomittausta pallon pintaa pitkin. Koska pallopinta eroaa kaarevuutensa vuoksi tasosta, myös pallotrigonometrialla on eroja koulusta tuttuun tason trigonometriaan verrattuna. Pallotrigonometrialla on perinteisesti ollut erityisen suuri merkitys tähtitieteessä sekä navigoinnissa.

Pallokolmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pallotrigonometrian perusobjekti on pallokolmio. Pallokolmio muodostuu kolmen pallon keskipisteen kautta kulkevan tason ja pallon pinnan leikkauksena syntyvistä pallon isoympyrän kaarista. Pallokolmion kulmat ovat näiden tasojen väliset kulmat eli diedrikulmat. Koska isoympyrän kaarien suuruus ilmaistaan niitä vastaavien keskuskulmien suuruutena, pallokolmion sivut ja kulmat ilmoitetaan molemmat kulmamitoin. Pallotrigonometrian sovelluksissa käytetään lähes yksinomaan kulman mittayksikkönä astetta, mutta joissakin teoreettisissa tarkasteluissa on hyödyllisempää käyttää radiaaniyksikköä.

Olkoon O pallon keskipiste. Pallokolmion ABC napakolmio on A'B'C', missä OA' on tason OBC normaali ja A' on se normaalin ja pallon leikkauspiste, josta tarkasteltuna kaari BC kuljetaan positiiviseen kiertosuuntaan ja B', C' määritellään analogisesti. Napakolmion sivuille a',\,b'\,c' pätee a'=180^{\circ}-A, b'=180^{\circ}-B ja c'=180^{\circ}-C. Osoittautuu, että kolmion A'B'C' napakolmio on ABC. Siis a=180^{\circ}-A', b=180^{\circ}-B' ja c=180^{\circ}-C'.

Pallotrigonometrian kaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pallokolmioiden tuntemattomien osien laskeminen tunnettujen osien avulla perustuu pallotrigonometrian sini- ja kosinilauseisiin. Jos pallokolmion kulmat ovat A, B ja C (pallokolmion kulmia ja sen kärkiä on tapana merkitä samalla symbolilla) ja niiden vastaiset sivut a, b ja c, niin pallotrigonometrian sinilauseen ilmaisevat yhtälöt

\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}.

Pallotrigonometrian (ensimmäinen) kosinilause puolestaan sisältyy yhtälöön

\cos a = \cos b\, \cos c + \sin b\, \sin c\, \cos A

(ja siitä symbolien kiertovaihteluilla muodostettuihin yhtälöihin).

Pallotrigonometrian toinen kosinilause puolestaan sisältyy yhtälöön

\cos A = -\cos B\, \cos C + \sin B\, \sin C\, \cos a

(ja siitä symbolien kiertovaihteluilla muodostettuihin yhtälöihin).

Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen todistamiseksi oletetaan pallon säteeksi 1. Merkitään pallokolmion kärkipisteitä samoilla kirjaimilla kuin sen kulmia ja pallon keskipistettä O:lla. Tason OAB normaalivektori on \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} ja tason OAC normaalivektori on \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC}. Kerrottavien vektorien pituus on 1, joten ristitulojen pituudet ovat \sin c ja \sin b. Lisäksi \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\cos c, \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\cos a ja \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=\cos a. Normaalivektorien pistetulon avulla voidaan ilmaista tasojen OAB ja OAC välisen kulman kosini eli \cos A: \sin b\sin c\cos A=(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}\times(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC}))= \overrightarrow{OA}\cdot((\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC})=\cos a-\cos b \cos c. Edellä käytettiin tietoa kertomisjärjestyksen vaihtamismahdollisuudesta skalaarikolmitulossa ja vektorikolmitulon laskukaavaa.

Pallotrigonometrian sinilause voidaan johtaa kosinilauseesta trigonometrian peruskaavojen avulla ja toinen kosinilause on ensimmäinen kosinilause sovellettuna ABC:n napakolmioon A'B'C'.

Pallokolmion palloylijäämä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasogeometrian kolmion kulmasummalause ei päde pallokolmioille. Pallokolmion kulmien summa on aina suurempi kuin 180^{\circ}. Tämän todistamiseksi tarkastellaan ensin pallokolmiota ABC'', missä C'' on pisteen C antipodipiste eli C:stä piirretyn pallon halkaisijan toinen päätepiste. Tämän kolmion sivut ovat 180^{\circ}-a,\,180^{\circ}-b,\,c. Koska isoympyrän kaari c=AB on pallon geodeettinen viiva eli lyhin tie pisteestä A pisteeseen B, on c<(180^{\circ}-a)+(180^{\circ}-b) eli a+b+c<360^{\circ}. Pallokolmion sivujen pituus on siis enintään 360^{\circ}. Kun tämä relaatio sovitetaan napakolmioon ja otetaan huomioon napakolmion sivujen ja alkuperäisen kolmion kulmien välinen yhteys, saadaan 360^{\circ}>a'+b'+c'=(180^{\circ}-A)+(180^{\circ}-B)+(180^{\circ}-C) eli A+B+C>180^{\circ}. Pallokolmion ja tasokolmion kulmien summien erotusta E kutsutaan palloylijäämäksi tai pallokolmioylijäämäksi (engl. spherical excess). Jos pallokolmion kulmien A, B ja C suuruudet on ilmoitettu radiaaneissa, palloylijäämä on

E = (A + B + C) - \pi\,.

Pallokolmion pinta-ala S on suorassa yhteydessä sen palloylijäämään. Jos kulmayksikkönä käytetään radiaania, on

S = Er^2\,,

missä r on pallon säde. On nimittäin helppo nähdä, että pallokaksikulmiot, joiden kärjet ovat pallokolmion kärkiä ja sivut pallokolmion jatkeita, peittävät yhteensä puolipallon pinnan ja sen lisäksi kahdesti pallokolmion ABC. Koska pallokaksikolmioiden alat ovat (jos kulmat ilmaistaan radiaaneina) A/(2\pi)\,, B/(2\pi)\, ja C/(2\pi)\, koko pallon pallon pinta-alasta eli 2Ar^2\,, 2Br^2\, ja 2Cr^{2}\,, saadaan yhtälö 2(A+B+C)r^2=2\pi r^2+2S\,, mistä S=Er^2\,.

Täten palloylijäämä ilmoittaa (steradiaaneissa) sen avaruuskulman, jossa pallokolmio näkyy pallon keskipisteestä katsottuna.

Isoympyräetäisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen avulla voidaan määrittää kahden maapallon pinnan pisteen B ja Clyhin etäisyys, kun pisteiden maantieteelliset koordinaatit tunnetaan. Muodostetaan pallokolmio, jonka yksi kärki (A) on pohjoisnapa ja toiset kärjet B ja C. Tällöin b (tai c) on joko 90^{\circ}- pisteen leveyskoordinaatti (jos piste on pohjoisella pallonpuoliskolla) tai 90^{\circ}+ pisteen leveyskoordinaatti (jos piste on eteläisellä pallonpuoliskolla). Kulma A on joko pisteiden B ja C pituuskoordinaattien erotus (jos pisteet ovat molemmat itäisellä tai molemmat läntisellä pallonpuoliskolla) tai pienempi luvuista pituuskoordinaattien summa ja 180^{\circ}- pituuskoordinaattien summa (jos toinen piste on läntisellä ja toinen itäisellä pallonpuoliskolla). Ensimmäinen kosinilause kertoo pisteitä B ja C yhdistävän ispoympyräkaaren kosinin; kun tästä määritetään kulma a ja otetaan huomioon maapallon ympärysmitta noin 40000 km, saadaan isoympyräkaaren BC pituus \frac{a}{360^{\circ}}\cdot 40000 km.