Asymptootti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Asymptootti on suora tai käyrä A, jota toinen käyrä B lähestyy äärettömyydessä. Kun B:tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys A:n ja B:n välillä kutistuu kohti nollaa. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa.

Käyrä voi leikata asymptoottiaan jopa äärettömän monta kertaa.
1/x:n kuvaaja. x- ja y-akselit ovat tämän hyperbelin asymptootteja.
Funktion f(x)=x + 1/x kuvaaja, y-akseli (x = 0) ja suora y = x ovat molemmat f:n asymptootteja.

Asymptootit ja funktion kuvaaja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Asymptootit määritellään raja-arvon avulla:

Olkoon f funktio. Tällöin suora y=a on f:n vaakasuora asymptootti, jos

\lim_{x \to \infty} f(x) = a \,\mbox{ tai }  \lim_{x \to -\infty} f(x) = a.

Intuitiivisesti tämä tarkoittaa sitä, että itseisarvoltaan suurilla x:n arvoilla f(x) on suunnilleen yhtä suuri kuin a ja approksimaatio tarkentuu, kun x kasvaa tai pienenee. Siten äärettömyydessä (tai miinus äärettömyydessä) käyrä lähestyy suoraa.

Huomaa, että jos

\lim_{x \to \infty} f(x) = a \,\mbox{ ja }  \lim_{x \to -\infty} f(x) = b,

on funktion f kuvaajalla kaksi vaakasuoraa asymptoottia: y=a ja y=b. Esimerkiksi arkustangentti käyttäytyy tällä tavoin.

Funktion kuvaajalla voi olla kaksi vaakasuoraa asymptoottia.

Suora x=a on funktion f pystysuora asymptootti, jos jompikumpi seuraavista ehdoista on voimassa:

  1. \lim_{x \to a^{-}} f(x)=\pm\infty
  2. \lim_{x \to a^{+}} f(x)=\pm\infty

Intuitiivisesti jos x=a on f:n asymptootti, voidaan ajatella, että kun x lähestyy a:ta jommaltakummalta puolelta, f(x) kasvaa tai vähenee rajatta.

Esimerkki asymptootista löytyy funktion f(x)=1/x kuvaajasta, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselin x = 0 ja y = 0.

Huomaa, että f(x):n ei tarvitse olla määritelty a:ssa. Funktion arvolla pisteessä x=a ei ole asymptootin käyttäytymiseen vaikutusta. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota

f(x) = \begin{cases} 1/x & x > 0 \\ 5 & x \le 0 \end{cases}.

Kun \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \infty, f(x):llä on pystysuora asymptootti 0:ssa, vaikka f(0) = 5.

Funktion asymptoottien ei tarvitse olla x- tai y-akselin suuntaisia. Esimerkiksi funktion f(x)=x +1/x asymptootteina ovat y-akseli ja suora y = x.

Jos y = m x + b on mikä tahansa ei-pystysuora suora, on funktiolla f(x) tämä suora asymptoottina, jos ja vain jos

\lim_{x \to \infty} f(x)-(mx+b) = 0 \, \mbox{ tai } \lim_{x \to -\infty} f(x)-(mx+b) = 0.

Toisia merkityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio f(x) sanotaan lähestyvän asymptoottisesti funktiota g(x), kun x → ∞. Tällä voidaan tarkoittaa seuraavia asioita:

  1. f(x) − g(x) → 0.
  2. f(x) / g(x) → 1.
  3. f(x) / g(x) → a ≠ 0.
  4. f(x) / g(x) on rajoitettu eikä lähesty nollaa.