Pentagrammi

Säännöllinen pentagrammi
Pentagrammi
Tyyppi	Tähtimonikulmio
Sivuja ja kärkiä	5
symmetriaryhmä	D5 (Luokka 10)
sisäkulma (asteina)	36°

Pentagrammeja Stanislas de Guaitan vuonna 1897 ilmestyneestä kirjasta La Clef de la Magie Noire.

Pentagrammi (kreikan sanasta pentagrammon) eli viisikanta on viiden yhtä pitkän janan muodostama tähtimäinen kuvio, joka on vanha ja usein käytetty symboli. Sana pentagrammi tulee kreikan sanasta πεντάγραμμον (pentagrammon), joka tarkoittaa viittä viivaa.

Pentagrammi oli monissa yhteyksissä käytetty symboli Antiikin Kreikassa ja Babyloniassa. Usein se on käsitetty taikamerkiksi, ja sen vuoksi se on nykyäänkin muun muassa wiccalaisten, eräiden uuspakanallisten lahkojen sekä myös vapaamuurarien paljon käyttämä symboli. Kristinuskossa se taas on vanhastaan symboloinut Kristuksen viittä haavaa.

Varhaishistoria

Sumerit

Tiettävästi ensimmäisenä pentagrammi esiintyi sumereilla noin 3000 eaa. Sumerien kuvakirjoituksessa pentagrammi tarkoitti sanaa "UB", joka tarkoittaa kärkeä, kulmaa, pientä huonetta tai rakoa. René Labat'n laatimassa sumerilaisten piktogrammien luettelossa siinä on kaksi kärkeä ylöspäin.

Babylonialaisille pentagrammin kärjet merkitsivät todennäköisesti eri suuntia: eteenpäin, taaksepäin, vasemmalle, oikealle ja ylös. Näillä suunnilla oli merkitystä myös astrologiassa, ja ne vastasivat myös viittä tunnettua planeettaa: Jupiteria, Merkuriusta, Marsia ja Saturnusta sekä ylös osoittava sakara "taivaan kuningattarena" pidettyä Venusta (Ishtaria)

Pythagoralaiset

Pythagoralaiset käyttivät pentagrammista nimeä Hygieia (kreik. ὑγιεία), kreikkalaisen terveyden jumalattaren mukaan. He pitivät pentagrammia sen geometristen ominaisuuksien vuoksi matemaattisesti täydellisenä kuviona.

Pentagrammia käyttivät myös keskiaikaiset uuspythagoralaiset, joista tosin on kyseenalaista, voidaanko heitä lainkaan pitää pythagoralaisina. Heille sen viisi kärkeä edustivat viittä klassista alkuainetta:

• ὕδωρ, hydor, vesi
• γαῖα, gaia, maa
• εἱλή, heile, lämpö, tuli
• ἰδέα, idea or ἱερόν, Hieron "jumalainen asia"
• ἀήρ, aer, ilma

Tämän mukaisesti kärkiä merkittiin kreikkalaisilla aakkosilla υ-γ-ε-ι-α. Tämä merkintä kuitenkin alkoi vaihdellen milloin mistäkin kärjestä, ja myös kiertosuunta (vasta- tai myötäpäivään) vaihteli.

Uskonnolliset symbolimerkitykset

Kristinusko

Pentagrammia käytetään kristillisenä viiden aistin symbolina, ja jos sen kärkiin merkitään latinan salus-sanan (terveys) kirjaimet S, A, L, V, ja S, sitä voidaan pitää terveyden symbolina.

Keskiajan kristityille pentagrammi symboli Kristuksen viittä haavaa. Pentagrammin uskottiin suojaava noidilta ja pahoilta hengiltä.

Pentagrammilla on suuri merkitys Arthurin tarinoissa: se esiintyy Sir Gawainin kilvessä eräässä 1300-luvulla kirjoitussa runossa. Runossa selitetään sen jokaisella viidellä kärjellä olevan viisi merkitystä: ne tarkoittavat viittä aistia, viittä sormea, Kristuksen viittä haavaa, Neitsyt Marian viittä ilonaihetta (Marian ilmestys, Jeesuksen syntymä, ylösnousemus, taivaaseenastuminen ja Marian taivaaseenottaminen) sekä niitä viittä ritarihyvettä, joiden ruumiillistumana Gawain toivoi voivansa itseään pitää: jalomielistä anteliaisuutta, toveruutta, puhtautta, kohteliaisuutta ja myötätuntoa.

Myöhemmin monet kristityt ovat kuitenkin tottuneet pitämään pentagrammia satanismin symbolina, mikä mahdollisesti johtuu seremoniallisten taikurien käyttämien symbolien väärästä tulkinnasta ja on johtanut siihen, että symbolia on lakattu käyttämättä kristillisissä yhteyksissä.

Mormonismi

Myöhempien aikojen pyhien Jeesuksen Kristuksen kirkko on käyttänyt pentagrammia ja viisikärkistä tähteä temppeliarkkitehtuurissaan, varsinkin Nauvoo Illinois Temple. Tähän yhteyteen symboli on omaksuttu perinteistä kristillisestä symboliikasta, jossa sitä ei kuitenkaan enää yleisesti käytetä.

Juutalaisuus

Pentagrammi oli aikoinaan Jerusalemin kaupungin virallisessa sinetissa. Sellaisena sitä ei kuitenkaan tule sekoittaa kuusisakaraiseen Daavidin tähteen.

Uuspakanuus

Tyypillinen uuspakanallinen, ympyrän sisään piirretty pentagrammi

Monet uuspakanalliset ryhmät, erityisesti Wicca, käyttävät pentagrammia uskonnolllisena symbolina, jonka voidaan katsoa vastaavan kristinuskon ristiä tai juutalaisuuden Daavidin tähteä. Sen uskonnollisen symboliikan on selitetty johtuvan uuspythagoralaisuudesta, jossa pentagrammin viisi kärkeä esittivätä neljää klassista alkuainetta sekä ylin kärki Henkeä.

Pentagrammia ympäröivän ympyrän on toisinaan katsottu sitovan alkuaineet yhteen tai merkitsevän niiden välistä sopusointua. Uuspakanallinen pentagrammi kuvataan tavallisimmin yksi kärki ylöspäin, osittain siksi, koska päinvastaisessa asennossa sen on katsottu tuovan mieleen satanismin.

Bahailaisuus

Pentagrammi on bahailaisuuden virallinen symboli, joka tunnetaan nimellä Haykal (temppeli). Sellaisena sen otti käyttöön Báb. Sekä Báb että Bahá'u'lláh kirjoittivat useita teoksia pentagrammista.

• 

  Eräs tunnistamaton Bábin teos.

• 

  Eräs tunnistamaton Bábin teos.

Taolaisuus

Taolaisuuteen liittyy nimellä Wu Xing tunnettu oppi viidestä luontoa hallitsevasta alkuaineesta. Toisin kuin Kreikassa, jossa alkuaineina pidettiin maata, ilmaa, tulta ja vettä, tässä kiinalaisessa järjestelmässä sellaisina pidettiin tulta, maata, metallia, vettä ja puuta. Tämän viiden alkuaineen järjestelmän symbolina on usein käytetty ympyrän sisään piirrettyä pentagrammia. Ympyrän taas on kuvattu esittävän kiertokulkua, jossa puu ylläpitää tulta, tuli synnyttää maata (tuhkaa), maasta saadaan metalleja, metalliastioilla kannetaan vettä ja vesi ravitsee puuta. Sen sijaan pentagrammi esittää tuhon kiertoa, jossa puu imee maata ja maa vettä, vesi sammuttaa tulen, tuli sulattaa metallin ja metalli pilkkoo puun, tai toista kiertoa, jossa puu imee veden, vesi ruostuttaa metallin, metalli rikkoo maan, maa tukahduttaa tulen ja tuli polttaa puun. Tätä järjestelmää käytetään perinteisessä lääketieteessä (ICM) nykyäänkin. Koska Wu Xing on hyvin vanha ja silkkitien välityksellä Kiinalla on ollut yhteyksiä Eurooppaan roomalaisajoista lähtien, on todennäköistä, että jokin käsitys tästä on jo varhain välittynyt Eurooppaankin ja tullut virheellisesti tulkituksi eksoottiseksi henkiparannukseksi (Shen).

Poliittinen symboliikka

Liput

Vaikka monissa lipuissa yhtenäinen esiintyy viisisakarainen tähti, pelkistä viivoista koostuva pentagrammi on melko harvinainen. Se esiintyy vain Marokon ja Etiopian lipuissa sekä muutamissa vaakunoissa.

Ivan Sachen mukaan Marokon lipussa oleva pentagrammi symboli Jumalan ja kansakunnan välistä yhteyttä. On myös mahdollista, että molemmissa lipuissa pentagrammi viittaa alkujaan Salomoon (Salomon sinettiin), sillä Salomoa on pidetty viisaan kuninkaan perikuvana sekä juutalaisten, kristittyjen että muslimien keskuudessa.

• 

  Marokon lippu

• 

  Etiopian lippu

Pentagrammi kirjallisuudessa

Keskiaikaisessa Sir Gawainin tarustossa Gawainin kilvessä olevalle pentagrammille on annettu kristillinen tulkinta (katso ylempänä #Kristinusko).

Goethen romaanissa Faust pentgrammi estää Mefistofelesta poistumasta huoneesta.

Dan Brownin romaanin Da Vinci-koodi mukaan pentagrammi symboloi Venusta, koska sen viiden peräkkäisen alakonjunktion paikat muodostavat varsin tarkoin säännöllisen pentagrammin.

Anthony Horowitzin kirjasarjassa Viisi Vartijaa pentagrammi on Viiden Vartijan tunnus.

Geometriset ominaisuudet

Pentagrammi, jossa eripituiset janat on merkitty eri väreillä. Nämä neljä pituutta ovat kultaisen leikkauksen mukaisessa suhteessa.

Pentagrammi on yksinkertaisin säännöllinen tähtimonikulmio. Sillä on kymmenen tärkeää pistettä: viisi sakaroiden kärkipistettä ja viisi janojen leikkauspistettä, sekä viisitoista janan osaa. Sitä voidaan esittää Schläflin symbolilla {5/2}. Samoin kuin säännöllisen viisikulmion, myös säännöllisen pentagrammin symmetriaryhmä on 10 alkion diedriryhmä.

Piirtäminen

Pentagrammi voidaan piirtää yhdistämällä säännöllisessä viisikulmiossa joka toinen kärkipiste. Vaihtoehtoisesti se voidaan piirtää jatkamalla viisikulmion jokaista sivua, kunnes niiden jatkeet leikkaavat toisensa.

Kultainen leikkaus

Kultaisella leikkauksella tarkoitetaan suhdelukua φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618. Se saadaan jakamalla jana kahteen osaan siten, että koko janan suhde suurempaan osaan on sama kuin suuremman osan suhde pienempään. Suhdeluku toteuttaa myös seuraavat trigonometriset yhtälöt:

$\varphi=1+2\sin(\pi/10)=1+2\sin 18^\circ\,$

$\varphi=1/(2\sin(\pi/10))=1/(2\sin 18^\circ)\,$

$\varphi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,$

Suhdeluku esiintyy sekä säännöllisessä viisikulmiossa että pentagrammissa. Pentagrammissa jokainen janojen leikkauspiste jakaa janan kultaisen leikkauksen mukaisessa suhteessa: koko janan suhde sen suurempaan osaan on φ, kuten myös suuremman osan suhde pienempään. Lisäksi tällä tavoin muodostetun lyhemmän osan suhde kahden leikkauspisteen väliseen osaan eli keskellä olevan viisikulmion sivuun on myös φ. Kuten tämä nelivärinen kuvio osoittaa:

$\frac{\mathrm{punainen}}{\mathrm{vihrea}} = \frac{\mathrm{vihrea}}{\mathrm{sininen}} = \frac{\mathrm{sininen}}{\mathrm{violetti}} = \varphi .$

Pentagrammiin sisältyy kymmenen tasakylkistä kolmiota, joista viidessä kaikki kulmat ovat teräviä, viidessä taas yksi tylppä. Niissä kaikissa pidemmän sivun suhde lyhyempään on φ. Ne tasakylkiset kolmiot, joissa kaikki kulmat ovat teräviä ja jotka muodostavat kuvion kärjet, ovat kultaisia kolmioita, joissa kulmat ovat 36°, 72° ja 72°. Tylppäkulmaisissa tasakylkisissä kolmioissa, joista yhden muodostavat kaikki oheisessa kuviossa värillisiksi merkityt viivat, taas kulmat ovat 144°, 36° ja 36° astetta.

Trigonometriset arvot

Pentagrammissa esiintyvien kulmien trigonometristen funktioiden arvot ovat seuraavat:

$\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=\frac{\varphi-1}{2}=\frac{1}{2\varphi}$

$\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}$

$\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}$

$\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}$

$\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}$

$\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} = \frac{\varphi}{2}$

$\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ = \sqrt{5 - 2\sqrt 5}$

$\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}$

Tästä seuraa, että tasakylkisessä kolmiossa, jossa joko kanta- tai huippukulma on 36°, pidemmän ja lyhemmän sivun suhde on φ. Tämä pätee sekä pentagrammissa esiintyville terävä- että tylppäkulmaisille kolmioille.

Kolmiulotteisia kuvioita

Monitahokkaita, joiden sivutahkot ovat pentagrammeja, ovat:

• 

  Pentagramminen prisma

• 

  Pentagramminen antiprisma

• 

  Pentagramminen leikattu antiprisma

• 

  Pieni tähtimäinen dodekaedri

• 

  Pieni kaksikolmioinen ikosidodekaedri

• 

  Pieni dodekahemikosahedri

• 

  Tylppä dodekadokeaedri

Pentagrammi tähtitieteessä ja luonnossa

Venus kiertää 13 kertaa Auringon ympäri melko tarkoin yhtä pitkässä ajassa kuin Maa 8 kertaa. Tämän vuoksi sen viiden peräkkäisten alakonjunktion paikat muodostavat jokseenkin tarkoin pentagrammin.

Lähteet

• Grünbaum, B. and G. C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
• Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.

Katso myös

• Tähti (symboli)
• Daavidin tähti eli heksagrammi
• Kannuksenpyörä eli oktogrammi

Aiheesta muualla

• MathWorld: Pentagram (englanniksi)