Koiviston vanhemmat olivat talollinen Matts Märjenjärvi ja Kaisa Ylinen. Hän kävi kansakoulun ja toimi sitten maanviljelijänä Kuortaneella 1884–1921.[1]
Koivisto toimi myös Kuortaneen kunnallislautakunnan esimiehenä ja kuntakokouksen sekä kunnanvaltuuston puheenjohtajana ja oli Kuortaneen kunnankirjuri ja rahastonhoitaja 1896–1911. Hän toimi lisäksi valtiorikosylioikeuden jäsenenä ja kuului Kansallis-Osake-Pankin hallintoneuvostoon.[1]
Aleksanteri Koivisto oli naimisissa vuodesta 1884 Kaisa Miina Koiviston kanssa.[1]
