Ordinaali

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee ordinaalia matemaattisena käsitteenä. Järjestys- eli ordinaalilukusanoista kerrotaan artikkelissa numeraali.

Matematiikassa joukko \alpha on ordinaali, jos ja vain jos \alpha on transitiivinen ja relaatio \in hyvinjärjestää joukon \alpha. Kuuluvuusrelaatio \in hyvinjärjestää joukon A, jos  < = \{(x,y)| x\in y,\quad x,y\in A\} on joukon A hyvinjärjestys. Relaatio \in määrittelee siis järjestyksen ordinaalien välille ja siksi usein korvataankin \in symbolilla  < . Nyt jokaista hyvinjärjestettyä joukkoa (A,<) vastaa ordinaali \alpha, jolle rakenteet (A,<) ja (\alpha, \in) ovat isomorfiset.


Esimerkiksi luonnolliset luvut ovat ordinaaleja ja (\mathbb{Z}_+,<)\cong (\omega,\in), missä \omega on joukko, jonka alkioina ovat täsmälleen luonnolliset luvut.

Ordinaalien ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ordinaaleille \alpha ja \beta pätee täsmälleen yksi ehdoista \alpha \in \beta, \beta \in \alpha tai \alpha = \beta. Tätä ominaisuutta kutsutaan trikotomiaksi. Ordinaaleja pystytään siis "vertailemaan". Ordinaalien jokainen alkio on myös ordinaali. Ensimmäinen ordinaali on 0, toinen 1=\{0\}, kolmas 2=\{0,1\} jne. Ordinaali \alpha on äärellinen, jos jokaisessa epätyhjässä joukossa A\subset \alpha on suurin alkio. Jos ordinaali \alpha on äärellinen, niin jokainen ordinaali \beta < \alpha on äärellinen ja myös ordinaali \alpha + 1 on äärellinen. Täten ei ole olemassa suurinta äärellistä ordinaalia. Zermelo-Fraenkelin aksioomat takaavat äärellisten ordinaalien olemassaolon, joten tarkastellaan vielä äärettömiä ordinaaleja.


Ensimmäinen ääretön ordinaali on \omega = \{0,1,2,...,n,n+1,...\}, toinen \omega +1= \{0,1,2,...,n,...,\omega\} jne. Yleisesti voidaan merkitä, että ordinaalin \alpha jälkeinen ordinaali eli seuraajaordinaali on \alpha +1 =\alpha \cup \{\alpha\}. Ordinaalien laskutoimitukset eivät ole vaihdannaisia. Esimerkiksi nyt 5+\omega =\omega eikä \omega +5. Samoin 3\cdot \omega =\omega kun taas \omega \cdot 3=\omega +\omega +\omega >\omega. Äärettömän ordinaalin \omega olemassaolo seuraa äärettömyysaksioomasta yhdessä eräiden muiden aksioomien kanssa.


Burali-Fortin lauseen mukaan ei ole olemassa joukkoa, johon kaikki ordinaalit kuuluvat. Tämä perustuu ordinaalien irrefleksiivisyyteen; ei ole olemassa ordinaalia \alpha, jolle pätee \alpha \in \alpha.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Devlin, Keith: The Joy of Sets, Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd ed. ,U.S.A.: Springer-Verlag, Inc., 1992. ISBN 0-387-94094-4. (englanniksi)
  • Hella, Lauri: Joukko-oppi (pdf) (luentomoniste) 2011. Tampereen yliopisto. Viitattu 06.01.2014.