Kvarnström toimii eduskunnan liikenne- ja viestintävaliokunnan sekä ympäristövaliokunnan jäsenenä. Lisäksi hän toimii sivistysvaliokunnan varajäsenä. Hän on Pohjoismaiden neuvoston Suomen valtuuskunnan varajäsen.[1]
Kvarnström on toiminut Raaseporin kuntapolitiikassa kaupunginvaltuutettuna ja on sivistyslautakunnan varapuheenjohtaja ja kaavoituslautakunnan jäsen. Rap-musiikkia hän on tehnyt nimellä Qruu.[2] Hän on ollut Arbetarbladetin päätoimittaja maaliskuusta 2017.[3]
Kvarnström on naimisissa ja hänellä on neljä lasta.[2][3]
