Gini-kerroin

Maailman maat Gini-kertoimen mukaan

< 0.25   0.25–0.29

0.30–0.34   0.35–0.39   0.40–0.44

0.45–0.49   0.50–0.54   0.55–0.59   ≥ 0.60

Puuttuu

Gini-kertoimella voidaan mitata matemaattisesti tietyn jakauman epätasaisuutta. Yleisimmin Gini-kerrointa käytetään kuvaamaan tuloerojen suuruutta. Kertoimen kehitti italialainen tilastotieteilijä Corrado Gini vuonna 1912.

Gini-kerroin tulonjaon tasa-arvoisuuden mittana

Gini-kerroin on tulonjakautumisen tasa-arvoisuuden mittari. Kuvaa tuloeroja keskitetysti. Gini-kertoimen raja-arvoja ovat 0 ja 1: täydellisen tasaisessa tulonjaossa arvo on 0, kun taas maksimaalisesti epätasaisen tulonjaon toteutuessa arvo on 1, jolloin yksi henkilö saa kaiken tulon. Gini-arvo voidaan esittää myös sadalla kerrottuna, jolloin raja-arvot ovat vastaavasti 0 ja 100.

Tulonjakokuvauksissa käytetään yleisesti menetelmää, jossa tulonsaajat järjestetään tulojen suuruuden mukaan nousevaan järjestykseen ja lasketaan sitten kunkin desiilin tai kvintiilin osuudet tulojen kokonaissummasta

Vertaamalla keskenään tuotannontekijätulojen jakaumaa käytettävissä olevien tulojen jakaumaa saadaan käsitys tulojen uudelleen jaon vaikutuksista.

Tuloerojen kuvauksessa joudutaan ottamaan kantaa myös siihen vertaillaanko kotitalouksien vai yksittäisten henkilöiden välistä tulonjakoa. Kummassakin on puolensa. Yleensä yksilön toimeentulo määräytyy koko kotitalouden taloudesta, mutta toisaalta tilastoissa suuren kotitalouden henkilöt saavat vähemmän painoarvoa kuin esimerkiksi yhdenhengen kotitalouden henkilö. Tulojen jakautuminen kotitalouden sisällä voi vaihdella, mikä tuo haastetta tutkimiseen.

Gini-kertoimia eri maista

Maa	Gini-arvo (0-100)
Ruotsi	23
Unkari	24,7
Suomi	26,8
Belgia	28
Tanska	29,0
Itävalta	30
Alankomaat	30,9
Viro	31,4
Espanja	32
Ranska	32,7
Kanada	32,1
Kreikka	33
Iso-Britannia	34
Intia	36,8
Japani	37,6
Turkki	40
Iran	43
Thaimaa	43,2
Yhdysvallat	46,6
Meksiko	54,6
Chile	57,1
Brasilia	59,3
Namibia	70,7

Gini-kerroin yhteiskunnan tasa-arvoisuuden mittana

Gini-kerrointa voidaan käyttää myös yhteiskunnan tasa-arvoisuuden mittaamiseen. Kerrointa voidaan soveltaa muun muassa seuraaviin muuttujiin:

• Mahdollisuudet koulutukseen (education)
• Mahdollisuudet elämässä (opportunity)
• Mahdollisuudet liikkumiseen tuloluokkien välillä (income mobility)

Matemaattisesti

Graafinen esitys Lorenz-käyrästä havainnollistaen Gini-kerrointa. x-akseli on kotitalouksien suhteellinen osuus siten että kotitaloudet on järjestetty tulojensa mukaan suuruusjärjestykseen. y-akseli on vastaavien kotitalouksien osuus kaikista tuloista. y = x käyrä kuvastaa tilannetta, jossa kaikki kotitaloudet ansaitsevat yhtä paljon. L(x) käyrä kuvastaa tilannetta jossa kotitalouksien tulot vaihtelevat.

Gini-kerroin mittaa todennäköisyysjakauman hajontaa. Gini-kerroin $G$ kuvastaa jakauman eriarvoisuutta.

$L(x)$ ($x \in X = [0, 1]$) kuvastaa arvojen $0 \le y \le x$ todennäköisyysmassaa siten että $L(x) \le x$, $L(0) = 0$ ja $L(1) = 1$. Tällöin $L$ on kertymäfunktio mitattavalle suureelle $x$.

Piirretään laatikko $X \times X$ ja sen sisään käyrät $y = x$ (suora viiva) ja $L(x)$. Gini-kerroin

$G = \frac{A}{A + B}$,

missä $A$ on käyrän $y = x$ ja käyrän $L$ väliin jäävä pinta-ala, ja $B$ on käyrän $L$ alle jäävä pinta-ala

$B = \int_{[0,1]} L(x) dx$

Huom. $A + B = 0,5$ koska käyrä $y = x$ rajoittaa näiden kummankin pinta-alan yksikköneliön sisällä.

Tämän seurauksena $G = 0$ tarkoittaa samanarvoisten alkioiden jakautumaa (jolloin käyrä $L$ seuraa käyrää $y = x$). $G = 1$ tarkoittaa täysin eriarvoista käyrää.

Tapauksessa jossa $G = 1$ kaikki tulot ovat kasautuneet jakauman kärkeen: $L(x) = 0$, kun $x < 1$ ja $L(1) = 1$.

Laskenta

Jatkuvan muuttujan funktiolle

Koska $A + B = 0,5$, saadaan

$G = \frac{A}{A + B} = \frac{0.5 - B}{0.5} = 1 - 2B = 1 - 2 \int_{[0,1]} L(x) dx$.

Diskreetille todennäköisyysjakaumalle

Diskreetille todennäköisyysjakaumalle $f(y_i)$, missä $i = 1, \dots, n$, ja $y_{i} \le y_{i + 1}$, Gini-kerroin $G$ saadaan määritettyä seuraavasti:

$G = 1 - \frac{\sum_{i=1}^n{f(y_i)(S_{i-1}+S_i)}}{S_n},$

missä

$S_i = \sum_{j=1}^i {f(y_j)\,y_j}$

ja

$S_0 = 0\,$.

Lähteet

• 2005 Development Programme Report, Yhdysvaltojen kohdalla hallituksen tiedot.