Todennäköisyysjakauma

Wikipedia

Ohjattu sivulta Kertymäfunktio
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Todennäköisyysjakauma on todennäköisyyslaskennan käsite, jolla kuvataan satunnaismuuttujan todennäköisyyttä saada tietty arvo. Todennäköisyysjakauman määrittelee funktio, joka kuvaa jokaisen reaalilukujen välin todennäköisyydeksi siten, että todennäköisyysaksioomat täyttyvät. Täsmällisesti määriteltynä se on todennäköisyysmitta, jonka lähtöjoukko on reaalilukujen Borel-joukko.

Jokaisella satunnaismuuttujalla on todennäköisyysjakauma ja todennäköisyysjakauma sisältää olennaisen tiedon satunnaismuuttujasta. Olkoon X satunnaismuuttuja, jolloin todennäköisyys että se saa arvon väliltä [a,b] on Pr[a ≤ X ≤ b].

Kertymäfunktio F(x) kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman yksikäsitteisesti ja se on määritelty kaikille reaaliluvuille x

F(x) = \Pr\left[ X \le x \right].

Tiheysfunktio f(x) on kertymäfunktion derivaatta. Sen voi ajatella kertovan todennäköisyyden pisteessä x ja vastaavan histogramman tasoitettua versiota. Tiheysfunktio on olemassa, jos kertymäfunktio on aidosti derivoituva. Tällöin

F(a) = \int_{-\infty}^a f(x)\,dx.

Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen otosavaruus on numeroituva. Tällöin kertymäfunktio on porrasfunktio eli se koostuu äärellisestä määrästä hyppyjä. Sen tiheysfunktiota vastaa pistetodennäköisyysfunktio Pr(x), joka kertoo diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyden saada arvo x. Jos x ei kuulu otosavaruuteen, saa se arvon 0.

Kertymäfunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

  • F(x) on ei-laskeva
  • F(-\infty)=0 ja F(\infty)=1
  • F on oikealta jatkuva

[muokkaa] Todennäköisyysjakaumia

Suluissa annetaan esimerkki jakauman tulkinnasta.

Diskreettejä jakaumia:

Jatkuvia jakaumia:

Moniulotteisia jakaumia:

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Todenn%C3%A4k%C3%B6isyysjakauma
Henkilökohtaiset työkalut