Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuva satunnaismuuttuja eli jatkuva stokastinen muuttuja on todennäköisyyslaskennassa satunnaismuuttuja, jolla on vain ei-negatiivisia arvoja saava tiheysfunktio. Satunnaismuuttuja tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää lukua, joka saadaan ilmiön alkeistapauksista mitallisen funktion kuvauksena. Tyypillisesti jatkuva satunnaismuuttuja voi saada tietyn reaalilukuvälin arvot ja joskus aivan kaikki realiluvut. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio eli kertymäfunktio on jatkuva.

Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen, jatkuva tai näiden yhdistelmä. Diskreetti satunnaismuuttuja saa vain erillisiä arvoja (nopanheitto), kun taas jatkuva voi saada arvoja hyvinkin läheltä toisiaan (reaaliluvut). Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Painot mieletään reaaliluvuiksi ja kahden kalan painot voivat olla kuinka lähellä toisiaan hyvänsä. Siksi jatkuvan satunnaismuuttujan arvot muodostavat realilukujen joukon, joka on hyvin "tiheä". Diskreettiset arvot, jotka ovat tässä lukumääriä, sijaitsevat kokonaislukujen tapaan lukusuoralla hyppäyksen päässä toisistaan. Lukujen väliin jää siten "raot" eikä arvojoukko ole "tiheä". Esimerkiksi ihmisen pituus on tällainen satunnaismuuttuja, mikäli pituudet pyöristetään senttimetrin tarkkuuteen. Pyöristämättömät luvut olisivat jatkuvan satunnaismuuttujan arvoja. Siis satunnaismuuttujan mittaamistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan.

Satunnaismuuttujan saamat kaikki lukuarvot muodostavat perusjoukon (myös otosjoukko, otosavaruus), jossa kaikki arvot eivät aina esiinny symmetrisesti yhtä yleisesti. Arvon yleisyys ilmaistaan todennäköisyydellä ja kaikkien arvojen todennäköisyydet muodostavat todennäköisyysjakauman. Jakauma määrittää satunnaismuuttujan täysin, joten satunnaisumuuttujat luokitellaankin jakaumiensa perusteella. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma voidaan kuvata todennäköisyysfunktiolla eli tiheysfunktiolla tai jakauma- eli kertymäfunktioilla.

Matemaattiset määritelmät

Satunnaismuuttuja $X$ on mitallisen funktion kuvaus $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$, missä määrittelyjoukko $\Omega$ on todennäköisyysilmiön alkeistapauksien $\omega$ muodostana perusjoukko $\Omega$ eli otosavaruus, ja arvojoukkona ovat reaaliluvut. Perusjoukko sisältää kaikki satunnaisilmiön mahdolliset alkeistapaukset, mikä merkitään joukko-opissa $\{\omega :\omega \in \Omega \}.$ Silloin alkeistapaukset ovat satunnaismuuttujan argumenttina, mikä on tapana merkitä $X(\omega )$. Todennäköisyyslaskennassa argumentit jätetään aina pois.

Samoin kuin klassisessa todennäköisyyslaskennassakin, alkeistapauksien yhdisteet muodostavat perusjoukon osajoukkoja, joita kutsutaan tapahtumiksi. Tapahtuma $A$ on siis joukko-opillinen käsite $\{\omega :\omega \in A\}.$ Myös satunnaismuuttujille määritellään tapahtuma $M$ samalla idealla eli $\{\omega :X(\omega )\in M\}$ eli lyhyemmin kirjoitettuna $X\in M$, kun on huomioitu satunnaismuuttujan määrittelemä kuvaus $X(\omega )$. Kun todennäköisyyslaskennassa määritellään todennäköisyydet kaikille perusjoukon $\Omega$ alkeistapauksien joukoille, jotka kuuluvat perusjoukon osajoukkojen sigma-algebraan ($\sigma$-algebra) ${\mathcal {F}}$. Vain osajoukot $A\in {\mathcal {F}}$ ovat tapahtumia. Tästä muodostuukin satunnaismuuttujan määritelmä: $X$ on satunnaismuuttuja, jos $\{\omega :X(\omega )\in M\}$ on tapaus (eli $\{\omega :X(\omega )\in M\}\in {\mathcal {F}}$) kaikilla Borel-joukoilla $M.$ Kun satunnaismuuttuja määritellään näin, täyttää se mittateoreettiset kriteerit. On varsin helppo osoittaa tapauskohtaisestikin, että äärellinen eli yksinkertainen satunnaismuuttuja voidaan saada toteuttamaan mittateoreettiset kriteerit aina.

Yksinkertaisille diskreeteille satunnaismuuttujille edelliset ehdot on helppo täyttää. Jatkuvan satunnaismuuttujan tilanteessa olisi muutoin määritettävä ylinumeroituvan suuruinen määrä todennäköisyyksiä, mutta Borel-joukoilla määrittely jää numeroituvan suuruiseksi. Satunnaismuuttujan määrittelevä funktio tulee olla mitallinen funktio. Nimitys juontuu siitä, että käänteiskuvalle $X^{-1}(M)$ voidaan liittää tietty mitta eli tässä tapauksessa todennäköisyys.

Jatkuvan satunnaismuuttujan ominaisuuksia

Todennäköisyysfunktio

Pääartikkeli: Tiheysfunktio

Esimerkki jatkuvasta satunnaismuuttujan tiheysfunktiosta $\scriptstyle \phi (x)$ on normaalijakauman kuvaaja.

Jatkuvan satunnaismuuttujan mahdollisia arvoja on ylinumeroituvasti ääretön määrä. Niiden todennäköisyyksiä ei voi luetella, vaan ne on lausuttava lausekkeen muodossa. Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on nimeltään tiheysfunktio, joka merkitään yleensä $f(x)$ tai $\phi (x)$ (lue "fii"). Siinä tapauksessa, että satunnaismuuttujan saamat arvot muodostavat reaalilukujen osajoukokon (perusjoukko), saa tiheysfunktio vain näillä arvoilla positiivisia arvoja ja perusjoukon ulkopuolisilla arvoilla nolla. Jos perusjoukko on koko reaalulukujoukko, saa se siellä vain positiivisia arvoja. Tiheysfunktio ei voi saada missään negatiivisia arvoja. Esimerkki tällaisesta tiheysfunktiosta on normaalijakaumalla.

Todennäköisyys sille, että sattunnaismuuttuja saa arvokseen yli 1,2 eli $\scriptstyle P(X>1,2)$ on kuvaajan väritetyn alueen pinta-ala eli integraali.

Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen arvon esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa, sillä satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja. Ainakaan näiden arvojen todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla", sillä silloinhan niitä ei esiintyisi. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, voi niiden todennäköisyyttä pitää "melkein nollana". Todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka muodostavat lukusuoralla välejä $\scriptstyle [a,b]$. Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin välin sisältävistä luvuista, lasketaan määrättyllä integraalilla

$P(a<X<b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Huomaa, että edellisen selostuksen nojalla voidaan pitää seuraavia yhtäsuurina:

$P(a<X<b)=P(a\leq X<b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X\leq b),$

sillä avoimelta väliltä puuttuva päätepisteen lisäys todennäköisyyteen on vain "nolla". Tämän ymmärtää helposti siitä määrätyn integraalin ominaisuudesta, että

$P(a\leq X\leq a)=P(X=a)=\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0$

Integraalin sisältävä määritelmä on käytännöllinen myös sen vuoksi, että se sallii tiheysfunktiolle joitakin yksittäisiä, eli äärellisen määrän, epäjatkuvuuskohtia ilman, että integraalin laskemisessa tulisi ongelmia.

Jos epäoleelliset integraalit ovat olemassa, voidaan laskea myös

$P(a\leq X)=\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx\,{\text{ ja }}\,P(X\leq b)=\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx.$

Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin perusjoukon luvuista, on luonnollisesti yksi (tapahtuu aina). Välin rajat voidaan merkitä äärettömän kauaksi toisistaan, vaikka perusjoukko voikin olla rajoitettu. Tällöin

$P(\Omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1.$

Kertymäfunktio

Pääartikkeli: Kertymäfunktio

Edellisen kaltaiset tapahtumat ovat käytännön tehtävissä usein muotoa $P(a\leq X)$ tai $P(X\leq b)$ tai $P(a\leq X\leq b)$ (näissä käytetään myös $<$), jossa rajat a ja b ovat äärellisiä tai äärettömiä. Nämä kaikki voidaan aina ilmaista yhdellä samalla lausekkeella $P(X\leq c)$, jota kutsutaan kertymäfunktioksi:

$P(a\leq X)=1-P(X<a)=1-P(X\leq a),$

koska $P(X<a)+P(a\leq X)=1$

$P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X<a)=P(X\leq b)-P(X\leq a),$

koska $P(X<a)+P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b).$

Satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään seuraavasti

$F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.$

Edelliset lausekkeet voidaan silloin kirjoittaa

$P(a\leq X)=1-F(a)$

ja

$P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a).$

Edellä esitetyn normaalijakauman kertymäfunktion kuvaaja muistuttaa S-käyrää.

Kertymäfunktion lauseke helpottaakin todennäköisyyksien laskemista suuresti, kun laskijan ei tarvitse osata integroida tiheysfunktion lauseketta. Siinä tapauksessa, ettei kertymäfunktion lauseketta tunneta (kuten normaalijakaumassa), sen arvot esitetään likiarvoina taulukkomuodossa.

Jatkuvalla satunnaismuuttujalla kertymäfunktio on aina jatkuva. Kertymäfunktion derivaatasta saadaan tiheysfunktio, kunhan kertymäfunktio vain on derivoituva:

$f(x)={\frac {d\,F(x)}{dx}}.$

Koska derivaattana tiheysfunktio on aina ei-negatiivinen tai positiivinen, on kertymäfunktio aina kasvava eli monotoninen funktio. Sen arvoalue rajoittuu kuitenkin välille

$0\leq F(X)\leq 1$

Arvo nolla saavutetaan rajoittuneen perusjoukon vasemmassa osassa, mutta yleisessä tapauksessa sen saavutetaan "miinus äärettömässä" eli

$\lim _{a\to -\infty }F(a)=\lim _{a\to -\infty }\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=0.$

Arvo yksi saavutetaan, kun koko perusjoukko on mukana eli

$\lim _{a\to +\infty }F(a)=\lim _{a\to +\infty }\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=1.$

Tunnusluvut

Pääartikkeli: Tunnusluku

Pääartikkeli: Kvantiili

Pääartikkeli: Momentti

Moodin, mediaanin ja odotusarvo sijainti vinon tiheysfunktion kuvaajassa.

Tiheysfunktion jakaumasta lasketaan usein samoja tunnuslukuja kuin histogrammistakin. Moodi tarkoittaa jakauman yleisintä arvoa eli sitä arvoa, jonka tiheysfunktion arvo on suurin. Mediaani sijaitsee jakauman puolivälissä kohdassa, jossa vasemmanpuolen ja oikeanpuolen arvoja esiintyy satunnaismuuttujalla yhtä paljon. Mediaani voidaan lukea kuuluvaksi kvanttiileihin, jotka jakavat satunnaismuuttujan arvojen ulostulot eri suuruisiin luokkiin. Odotusarvo eli keskiarvo sijaitsee usein eri kohdassa kuin mediaani. Odotusarvo on eräs tunnetuimpia momentteja.

Tiheysfunktion $f(x)$ momentit määritellään (äärettömän leveä perusjoukko)

$\operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx$.

Riippuen $g(X)$:n valinnasta saadaan joko tavallisia tai keskeisiä momentteja. Tavalliset momentit muodostetaan satunnaismuuttujan potensseilla:

$\operatorname {E} (X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx$.

Keskeiset momentit muodostetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon (merk. $\mu$) erotuksen potensseilla:

$\operatorname {E} ((X-\mu )^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }(X-\mu )^{n}f(x)\,dx$.

Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma

Erityisiä ja usein tarvittavia jatkuvien satunnaismuuttujien jakaumia on lukuisia. Alla on näistä muutamia esimerkkejä.

• Beta-jakauma käytetään Bayesin todennäköisyyslaskennassa ja se liittyy läheisesti Gamma-jakaumaan (alla).
• Cauchy-jakauma kuvaa resonanssin käyttäytymistä sekä vinon janan leikkauskohdan jakaumaa.
• Eksponenttijakauma (muistinmenetysominaisuus) kuvaa Poisson-prosessissa tapahtumien välistä aikaa. Se liittyy läheisesti diskreetin jakauman Poisson-jakaumaan.
• F-jakauma kuvaa miten varmaa on se, että kahdella satunnaismuuttujalla on sama varianssi.
• Gamma-jakauma kuvaa Poisson-prosessissa tapahtumien välistä aikaa. Se liittyy läheisesti Beta-jakaumaan.
• Khii toiseen -jakauma kuvaa riippumattomien normaalijakautuneiden muuttujien neliöiden summan käyttäytymistä
• Log-normaalijakauma
• Normaalijakauma liittyy keskeiseen raja-arvolauseeseen ja kuvaa muun muassa mittavirheen vaihtelua.
• Pareto-jakauma
• Studentin t-jakauma
• Tasajakauma (pyöristysvirhe) kuva tietyn välin sisällä symmetrisesti jakautuneen satunnaismuuttujan käyttäytymistä.
• Weibull-jakauma kuvaa sellaisten kohteiden elinikää, joissa on jokin toiminnan äkillisesti pysäyttävä ominaisuus.

Aiheesta muualla

• Weisstein, Eric W.: Continuous Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)