Odotusarvo

Odotusarvo on matematiikassa ja erityisesti stokastiikassa ja todennäköisyyslaskennassa määritelty satunnaismuuttujan jakauman painopiste. Odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojoukon keskiarvo, jota on painotettu arvojen todennäköisyydellä.

Määritelmä

Määritellään satunnaismuuttujan $\scriptstyle X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon $\scriptstyle \Omega$ todennäköisyysmitan $\scriptstyle P$ suhteen

$\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \, dP$.

Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan $X$ kertymäfunktion $F$ suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla

$\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dP(X \leq x) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dF(x)$.

Määritellään diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo summana

$\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i$,

missä $\scriptstyle x_1, x_2, \ldots$ ovat satunnaismuuttujan arvot ja $\scriptstyle p_1, p_2, \dots$ vastaavat arvojen todennäköisyydet.

Jos satunnaismuuttujalle on olemassa tiheysfunktio $f$, odotusarvo supistuu Riemannin integraaliksi

$\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx$.

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos $\scriptstyle \mathrm{E}(X) < \infty$. Jos se ei ole integroituva, on se kvasi-integroituva, jos $\scriptstyle \mathrm{E} (\max \{ X,0 \}) < \infty$ tai $\scriptstyle \mathrm{E} (\min \{ X,0 \}) < -\infty$.

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo. Toisin sanoen keskiarvo on odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.

Esimerkki

Noppa

Kuusitahoisen nopan pisteluvun odotusarvo on

$\operatorname{E}(X) =\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5$.

Ehdollinen odotusarvo

Satunnaismuuttujan $X$ ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla $\scriptstyle \mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ on $\scriptstyle \mathcal{G}$-mitallinen satunnaismuuttuja $\scriptstyle \mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G})$, jolle yhtälö

$\int_G \mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G}) \, dP = \int_G X \, dP$

pätee kaikilla $\scriptstyle G \in \mathcal{G}$. Satunnaismuuttujan $X$ ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja $Y$ on $\scriptstyle \mathrm{E}(X \, | \, \sigma(Y))$, missä $\sigma (Y)$ tarkoittaa satunnaismuuttujan $Y$ virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla $\scriptstyle G \in \mathcal{G}$ on $\scriptstyle \mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G}) (\omega)$, missä $\scriptstyle \omega \in G$ on reaaliluku.

Laskukaavoja

Odotusarvo on lineaarinen operaattori, koska satunnaismuuttujille $X$ ja $Y$ sekä reaaliluvuille $a$ ja $b$ pätee

$\operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y).$

Riippumattomille satunnaismuuttujille pätee

$\operatorname{E}(X \cdot Y) = \operatorname{E}(X) \cdot \operatorname{E}(Y).$

Lisäksi jos $\scriptstyle X \geq 0$, niin $\scriptstyle \operatorname{E}(X) \geq 0$, ja yleisemmin jos $\scriptstyle X \geq Y$, niin $\scriptstyle \operatorname{E}(X) \geq \operatorname{E}(Y)$.

Satunnaismuuttujan muunnokselle $g(X)$ pätee

$\operatorname{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \mathrm d x.$

Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki

$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E}_Y \left( \operatorname{E}_X(X|Y) \right).$