Odotusarvo

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Odotusarvo on matematiikassa ja erityisesti stokastiikassa ja todennäköisyyslaskennassa määritelty satunnaismuuttujan jakauman painopiste. Odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojoukon keskiarvo, jota on painotettu arvojen todennäköisyydellä.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritellään satunnaismuuttujan \scriptstyle X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon \scriptstyle \Omega todennäköisyysmitan \scriptstyle P suhteen

\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \, dP.

Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan X kertymäfunktion F suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla

\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dP(X \leq x) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dF(x).

Määritellään diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo summana

\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i,

missä \scriptstyle x_1, x_2, \ldots ovat satunnaismuuttujan arvot ja \scriptstyle p_1, p_2, \dots vastaavat arvojen todennäköisyydet.

Jos satunnaismuuttujalle on olemassa tiheysfunktio f, odotusarvo supistuu Riemannin integraaliksi

\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx.

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos \scriptstyle \mathrm{E}(X) < \infty. Jos se ei ole integroituva, on se kvasi-integroituva, jos \scriptstyle \mathrm{E} (\max \{ X,0 \}) < \infty tai \scriptstyle \mathrm{E} (\min \{ X,0 \}) < -\infty.

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo. Toisin sanoen keskiarvo on odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Noppa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on

\operatorname{E}(X) =1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} =\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5.

Ehdollinen odotusarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla \scriptstyle \mathcal{G} \subset \mathcal{F} on \scriptstyle \mathcal{G}-mitallinen satunnaismuuttuja \scriptstyle \mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G}), jolle yhtälö

\int_G \mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G}) \, dP = \int_G X \, dP

pätee kaikilla \scriptstyle G \in \mathcal{G}. Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja Y on \scriptstyle \mathrm{E}(X \, | \, \sigma(Y)), missä \sigma (Y) tarkoittaa satunnaismuuttujan Y virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla \scriptstyle G \in \mathcal{G} on \scriptstyle \mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G}) (\omega), missä \scriptstyle \omega \in G on reaaliluku.

Laskukaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Odotusarvo on lineaarinen operaattori, koska satunnaismuuttujille X ja Y sekä reaaliluvuille a ja b pätee

\operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y).

Riippumattomille satunnaismuuttujille pätee

\operatorname{E}(X \cdot Y) = \operatorname{E}(X) \cdot \operatorname{E}(Y).

Lisäksi jos \scriptstyle X \geq 0, niin \scriptstyle \operatorname{E}(X) \geq 0, ja yleisemmin jos \scriptstyle X \geq Y, niin \scriptstyle \operatorname{E}(X) \geq \operatorname{E}(Y).

Satunnaismuuttujan muunnokselle g(X) pätee

\operatorname{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \mathrm d x.

Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki

\operatorname{E}(X) = \operatorname{E}_Y \left( \operatorname{E}_X(X|Y) \right).