Odotusarvo

Wikipedia

Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa satunnaismuuttujan jakauman painopisteen arvo. Se kuvaa satunnaismuuttujan arvojoukon keskiarvoa, jota on painotettu arvojen todennäköisyydellä.

Esimerkiksi tavallisen kuusitahokkaisen nopan pisteluvun odotusarvo on

$\operatorname{E}(X) =\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5$ .

[muokkaa] Matemaattinen määritelmä

Satunnaismuuttujan $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ odotusarvoa voidaan merkitä yleisesti integraalina yli sen perusjoukon $Ω$ todennäköisyysmitan $\mathbb{P}$ suhteen

$\mathbb{E}X = \int_\Omega X \, d\mathbb{P}$ .

Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan $X$ kertymäfunktion $F$ suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla

$\mathbb{E}X = \int_{-\infty}^{\infty} x \, d\mathbb{P} \{ X \leq x \} = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dF(x)$ .

Diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa odotusarvo supistuu summaksi

$\mathbb{E}X = \sum_i p_i x_i$ ,

missä $x_1, x_2, \ldots$ ovat satunnaismuuttujan arvot ja $p_1, p_2, \dots$ ovat niiden todennäköisyydet, jotka summautuvat yhteen.

Jos satunnaismuuttujalla on tiheysfunktio $f$ , niin odotusarvo supistuu Riemannin integraaliksi

$\mathbb{E}X = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx$ .

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos $\mathrm{E}|X| < \infty$ . Jos se ei ole integroituva, on se kvasi-integroituva, jos $\mathrm{E} (\max \{ X,0 \}) < \infty$ tai $\mathrm{E} (\min \{ X,0 \}) < -\infty$ .

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo. Tosin sanoen keskiarvo on odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.

[muokkaa] Ehdollinen odotusarvo

Satunnaismuuttujan $X$ ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ on $\mathcal{G}$ -mitallinen satunnaismuuttuja $\mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G})$ , jolle yhtälö

$\int_G \mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G}) \, dP = \int_G X \, dP$

pätee kaikilla $G \in \mathcal{G}$ . Satunnaismuuttujan $X$ ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja $Y$ on $\mathrm{E}(X \, | \, \sigma(Y))$ , missä $σ(Y)$ tarkoittaa satunnaismuuttujan $Y$ virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla $G \in \mathcal{G}$ on $\mathrm{E} (X \, | \, \mathcal{G}) (\omega)$ , missä $\omega \in G$ on reaaliluku.