Odotusarvo
Wikipedia
Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa satunnaismuuttujan jakauman painopisteen arvo. Se kuvaa satunnaismuuttujan arvojoukon keskiarvoa, jota on painotettu arvojen todennäköisyydellä.
Esimerkiksi tavallisen kuusitahokkaisen nopan pisteluvun odotusarvo on
.[muokkaa] Matemaattinen määritelmä
Satunnaismuuttujan
odotusarvoa voidaan merkitä yleisesti integraalina yli sen perusjoukon Ω todennäköisyysmitan
suhteen
.
Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan X kertymäfunktion F suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla
.
Diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa odotusarvo supistuu summaksi
,
missä
ovat satunnaismuuttujan arvot ja
ovat niiden todennäköisyydet, jotka summautuvat yhteen.
Jos satunnaismuuttujalla on tiheysfunktio f, niin odotusarvo supistuu Riemannin integraaliksi
.
Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos
. Jos se ei ole integroituva, on se kvasi-integroituva, jos
tai
.
Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo. Tosin sanoen keskiarvo on odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.
[muokkaa] Ehdollinen odotusarvo
Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla
on
-mitallinen satunnaismuuttuja
, jolle yhtälö
pätee kaikilla
. Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja Y on
, missä σ(Y) tarkoittaa satunnaismuuttujan Y virittämää sigma-algebraa.
On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla
on
, missä
on reaaliluku.
[muokkaa] Laskukaavoja
Odotusarvo on lineaarinen operaattori, koska satunnaismuuttujille X ja Y sekä reaaliluvuille a ja b pätee
- E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y).
Riippumattomille satunnaismuuttujille pätee
Lisäksi jos
, niin
, ja yleisemmin jos
, niin
.
Satunnaismuuttujan muunnokselle g(X) pätee
Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki



![\mathrm{E}[X] = \mathrm{E_Y} \left( \mathrm{E_X}[X|Y] \right).](http://upload.wikimedia.org/math/9/7/d/97d6b0eda60282aaf347347914258d46.png)

