χ²-jakauma

Wikipedia
Ohjattu sivulta Khii toiseen -jakauma
Loikkaa: valikkoon, hakuun
\chi^2-jakauma
Tiheysfunktio
Khii toiseen -jakauman tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Khii toiseen -jakauman kertymäfunktio
Merkintä \chi^2(k)\! tai \chi^2_k\!
Parametrit k \in \mathbb{N}~~ (tunnetaan "vapausasteena")
Määrittelyjoukko x ∈ [0, +∞)
Tiheysfunktio \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\; x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}\,
Kertymäfunktio \frac{1}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\;\gamma\left(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2}\right)
Odotusarvo k
Mediaani \approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3
Moodi max{ k − 2, 0 }
Varianssi 2k
Vinous \scriptstyle\sqrt{8/k}\,
Huipukkuus 12 / k
Entropia \begin{align}\frac{k}{2}&+\ln(2\Gamma(k/2)) \\ &\!+(1-k/2)\psi(k/2)\end{align}
Momentit generoiva funktio (1 − 2 t)k/2   kun  t  < ½
Karakteristinen funktio (1 − 2 it)k/2      [1]


\chi^2-jakauma on tilastotieteen testeissä käytetty jakauma. Jos satunnaismuuttujat X_1, \ldots, X_n ovat riippumattomia ja standardinormaalijakautuneita, niin niiden neliöiden summa on \chi^2-jakautunut n:llä vapausasteella. Jos X = X_1^2 + \ldots + X_n^2, on siis

X \sim \chi^2_n .

Jakauman parametri n on positiivinen kokonaisluku. \chi^2-jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Tiheysfunktio on arvojoukossa

f_X (x) = \frac{x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}}{2^\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})} ,

jossa \Gamma(r) = \int_0^\infty x^{r-1} e^{-x} dx on Eulerin gammafunktio.

Kertymäfunktiota F_X(x) = \int_0^x f_X(z) dz ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa.

Odotusarvo ja varianssi ovat

\operatorname{E}(X)=n ja \operatorname{Var}(X)=2n .

\chi^2-jakauma on gammajakauman erikoistapaus:

\chi^2 = \operatorname{Gamma}\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Χ²-jakauma.