Poissonin jakauma

Poissonin jakauman pistetodennäköisyysfunktion kuvaajia parametrin arvoilla 1, 4 ja 10

Poissonin jakauman kertymäfunktion kuvaajia

Poissonin jakauma (tai Poisson-jakauma) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä diskreetti todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyydet tapahtumien lukumäärälle kiinteällä aikavälillä kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja riippumaton edellisestä tapahtumasta. Poissonin jakauman tuottavaa stokastista prosessia kutsutaan Poisson-prosessiksi.

Jakauma on peräisin ranskalaiselta matemaattisen fysiikan tutkijalta Siméon Denis Poissonilta (1781-1840). Tutkiessaan todennäköisyyslaskennassa toistokoetta hän päätyi jakaumaansa antamalla toistojen määrän kasvaa rajatta ja kytkemällä tarkasteltavan tapauksen todennäköisyyden yksittäisessä toistossa toistojen määrään siten että määrän ja todennäköisyyden tulo pysyivät koko ajan vakiona. Jakaumaa nimitetään usein myös Poissonin suurten lukujen laiksi.

Poissonin jakauma on diskreetti ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja $X$ on Poisson-jakautunut, merkitään

$X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$ .

Parametri $\lambda > 0$ on Poisson-prosessin intensiteetti. Pistetodennäköisyysfunktio on

$\operatorname{P}(X=i) = \frac{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} .$

Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat

$\operatorname{E}(X)=\lambda$ ja $\operatorname{Var}(X)=\lambda.$

Jos $X_1 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1)$ ja $X_2 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_2)$ sekä $X_1$ ja $X_2$ ovat riippumattomia, niin $X_1 + X_2 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)$ .

Poissonin jakauman yhteydet binomijakaumaan ja negatiiviseen binomijakaumaan:

jos $np_n \rightarrow \lambda$ kun $n \rightarrow \infty$ , niin $\operatorname{Bin}(n,p_n) \rightarrow \operatorname{Poisson}(\lambda)$ jakaumaltaan. jos $n(1-p_n) \rightarrow \lambda$ kun $n \rightarrow \infty$ , niin $\operatorname{Negbin}(n,p_n) \rightarrow \operatorname{Poisson} (\lambda)$ jakaumaltaan.

Painotettu Poissonin jakauma on Poissonin jakauma, jonka parametri on satunnaismuuttuja. Parametrin voi tulkita esimerkiksi kuvaavan sään vaihteluita, jos Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa päivässä tapahtuvia liikennevahinkoja.

Oletetaan, että satunnaismuuttuja $k$ toteuttaa ehdot $k>0$ ja $\operatorname{E}(k)=1$ ja $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda k)$ . Satunnaismuuttujaa $k$ kutsutaan tällöin struktuurimuuttujaksi. Odotusarvo ja varianssi ovat