Poissonin jakauma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Poissonin jakauma
Todennäköisyysfunktio
Poissonin jakauman todennäköisyysfunktio
Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Todennäköisyysfunktio on määritelty vain indeksin k kokonaislukuarvoilla. Hahmottamisen helpottamiseksi pisteet on yhdistetty viivoilla
Kertymäfunktio
Poissonin jakauman kertymäfunktio
Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Kertmäfunktio on epäjatkuva kokonaisluvuilla k ja muualla vaakasuora, koska Poisson-jakautunut muuttuja saa vain kokonaislukuarvoja.
Merkintä \mathrm{Pois}(\lambda)\,
Parametrit λ > 0 (reaalinen)
Määrittelyjoukko k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
Pistetodennäköisyysfunktio \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}
Kertymäfunktio \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\! --tai-- e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\

(kun k\ge 0 missä \Gamma(x, y)\,\! on epätäydellinen gammafunktio ja \lfloor k\rfloor on lattiafunktio)

Odotusarvo \lambda\,\!
Mediaani \approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor
Moodi \lfloor\lambda\rfloor,\,\lceil\lambda\rceil - 1
Varianssi \lambda\,\!
Vinous \lambda^{-1/2}\,
Huipukkuus \lambda^{-1}\,
Entropia \lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}

(kun \lambda on suuri) \frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -
                     \frac{19}{360 \lambda^3} + O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)

Momentit generoiva funktio \exp(\lambda (e^{t}-1))\,
Karakteristinen funktio \exp(\lambda (e^{it}-1))\,
Todennäköisyydet generoiva funktio  \exp(\lambda(z - 1))\,

Poissonin jakauma (tai Poisson-jakauma) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä diskreetti todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyydet tapahtumien lukumäärälle kiinteällä aikavälillä kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja riippumaton edellisestä tapahtumasta. Poissonin jakauman tuottavaa stokastista prosessia kutsutaan Poisson-prosessiksi.

Jakauma on peräisin ranskalaiselta matemaattisen fysiikan tutkijalta Siméon Denis Poissonilta (1781-1840). Tutkiessaan todennäköisyyslaskennassa toistokoetta hän päätyi jakaumaansa antamalla toistojen määrän kasvaa rajatta ja kytkemällä tarkasteltavan tapauksen todennäköisyyden yksittäisessä toistossa toistojen määrään siten että määrän ja todennäköisyyden tulo pysyivät koko ajan vakiona. Jakaumaa nimitetään usein myös Poissonin suurten lukujen laiksi.

Poissonin jakauma on diskreetti ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja X on Poisson-jakautunut, merkitään

X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda) .

Parametri \lambda > 0 on Poisson-prosessin intensiteetti. Pistetodennäköisyysfunktio on

\operatorname{P}(X=i) = \frac{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} .

Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat

\operatorname{E}(X)=\lambda ja \operatorname{Var}(X)=\lambda.

Jos X_1 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1) ja X_2 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_2) sekä X_1 ja X_2 ovat riippumattomia, niin X_1 + X_2 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2).

Poissonin jakauman yhteydet binomijakaumaan ja negatiiviseen binomijakaumaan:

jos np_n \rightarrow \lambda kun n \rightarrow \infty, niin \operatorname{Bin}(n,p_n) \rightarrow \operatorname{Poisson}(\lambda) jakaumaltaan.
jos n(1-p_n) \rightarrow \lambda kun n \rightarrow \infty, niin \operatorname{Negbin}(n,p_n) \rightarrow \operatorname{Poisson} (\lambda) jakaumaltaan.

Painotettu Poissonin jakauma on Poissonin jakauma, jonka parametri on satunnaismuuttuja. Parametrin voi tulkita esimerkiksi kuvaavan sään vaihteluita, jos Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa päivässä tapahtuvia liikennevahinkoja.

Oletetaan, että satunnaismuuttuja k toteuttaa ehdot k>0 ja \operatorname{E}(k)=1 ja X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda k). Satunnaismuuttujaa k kutsutaan tällöin struktuurimuuttujaksi. Odotusarvo ja varianssi ovat

\operatorname{E}(X)=\lambda ja \operatorname{Var}(X)=\lambda+\lambda^2\operatorname{Var}(k).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Poissonin jakauma.