Negatiivinen binomijakauma

Wikipedia

Negatiivinen binomijakauma on dikotomisen toistokokeen mielivaltaisen monennetta onnistumista edeltävien yritysten jakauma.

Negatiivinen binomijakauma on diskreetti ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja $X$ on negatiivisbinomijakautunut, merkitään

$X \sim \operatorname{Negbin}(r,p) .$

Jakauman parametri $0 \leq p \leq 1$ on onnistumisen todennäköisyys, ja parametri $r \in \mathbb{N}$ on odotettu onnistumiskerta. Pistetodennäköisyysfunktio on

$\mathbb{P} \{ X=i \} = {r+i-1 \choose i} p^r (1-p)^i .$

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\mathbb{E}X=\frac{r(1-p)}{p}$ ja $\mathbb{D}^2 X=\frac{r(1-p)}{p^2} .$

Jos $X_1 \sim \operatorname{Negbin}(r_1,p)$ ja $X_2 \sim \operatorname{Negbin}(r_2,p)$ sekä $X 1$ ja $X 2$ ovat riippumattomia, niin $X_1 + X_2 \sim \operatorname{Negbin}(r_1+r_2,p)$ .

Negatiivisen binomijakauman yhteys geometriseen jakaumaan on

$\operatorname{Negbin}(1,p) = \operatorname{Geom} (p) .$

Jakauman nimi tulee pistetodennäköisyysfunktion samankaltaisuudesta binomijakaumaan, ja siitä että pistetodennäköisyysfunktion voi ilmaista negatiivisen binomikertoimen avulla